MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopn2 Structured version   Unicode version

Theorem restopn2 17242
Description: The if  A is open, then  B is open in  A iff it is an open subset of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopn2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) ) )

Proof of Theorem restopn2
StepHypRef Expression
1 elssuni 4044 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Jt  A )  ->  B  C_  U. ( Jt  A ) )
2 elssuni 4044 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
3 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
43restuni 17227 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
52, 4sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
65sseq2d 3377 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  C_  A  <->  B 
C_  U. ( Jt  A ) ) )
71, 6syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  ->  B  C_  A ) )
87pm4.71rd 618 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  ( Jt  A ) ) ) )
9 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  J  e.  Top )
10 simplr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  A  e.  J )
11 ssid 3368 . . . . . 6  |-  A  C_  A
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  A  C_  A
)
13 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  B  C_  A
)
14 restopnb 17240 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  ( A  e.  J  /\  A  C_  A  /\  B  C_  A
) )  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  ( Jt  A ) ) )
159, 10, 10, 12, 13, 14syl23anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  ( Jt  A ) ) )
1615pm5.32da 624 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( ( B  C_  A  /\  B  e.  J
)  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  ( Jt  A ) ) ) )
178, 16bitr4d 249 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  J ) ) )
18 ancom 439 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  e.  J )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) )
1917, 18syl6bb 254 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   U.cuni 4016  (class class class)co 6082   ↾t crest 13649   Topctop 16959
This theorem is referenced by:  restdis  17243  perfopn  17250  llyrest  17549  nllyrest  17550  llyidm  17552  nllyidm  17553  lly1stc  17560  qtoprest  17750  xrtgioo  18838  lhop  19901  efopnlem2  20549  cvmopnlem  24966  cvmlift2lem9a  24991  cvmlift2lem9  24999  cvmlift3lem6  25012
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-fin 7114  df-fi 7417  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967
  Copyright terms: Public domain W3C validator