MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restperf Unicode version

Theorem restperf 16914
Description: Perfection of a subspace. Note that the term "perfect set" is reserved for closed sets which are perfect in the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restperf  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y ) ) )

Proof of Theorem restperf
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32toptopon 16671 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 resttopon 16892 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
53, 4sylanb 458 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
61, 5syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
7 topontop 16664 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
109isperf 16882 . . . 4  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\  ( ( limPt `  K
) `  U. K )  =  U. K ) )
1110baib 871 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e. Perf  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
128, 11syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
13 dfss1 3373 . . 3  |-  ( Y 
C_  ( ( limPt `  J ) `  Y
)  <->  ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
)  =  Y )
14 ssid 3197 . . . . . 6  |-  Y  C_  Y
152, 1restlp 16913 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  Y  C_  Y )  ->  (
( limPt `  K ) `  Y )  =  ( ( ( limPt `  J
) `  Y )  i^i  Y ) )
1614, 15mp3an3 1266 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( limPt `  K
) `  Y )  =  ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
) )
17 toponuni 16665 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
186, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. K )
1918fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( limPt `  K
) `  Y )  =  ( ( limPt `  K ) `  U. K ) )
2016, 19eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( limPt `  J ) `  Y
)  i^i  Y )  =  ( ( limPt `  K ) `  U. K ) )
2120, 18eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
)  =  Y  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
2213, 21syl5bb 248 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y )  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
2312, 22bitr4d 247 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   limPtclp 16866  Perfcperf 16867
This theorem is referenced by:  perfcls  17093  reperflem  18323  perfdvf  19253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-lp 16868  df-perf 16869
  Copyright terms: Public domain W3C validator