MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restrcl Unicode version

Theorem restrcl 16944
Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restrcl  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)

Proof of Theorem restrcl
StepHypRef Expression
1 0opn 16706 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  A
) )
2 n0i 3494 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( Jt  A )  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
4 restfn 13378 . . . 4  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
5 fndm 5380 . . . 4  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
76ndmov 6046 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
83, 7nsyl2 119 1  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   (/)c0 3489    X. cxp 4724   dom cdm 4726    Fn wfn 5287  (class class class)co 5900   ↾t crest 13374   Topctop 16687
This theorem is referenced by:  cnrest2r  17071  imacmp  17180  fiuncmp  17187  concompss  17215  kgeni  17288  kgencmp  17296  kgencmp2  17297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-rest 13376  df-top 16692
  Copyright terms: Public domain W3C validator