MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restrcl Unicode version

Theorem restrcl 16888
Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restrcl  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)

Proof of Theorem restrcl
StepHypRef Expression
1 0opn 16650 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  A
) )
2 n0i 3460 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( Jt  A )  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
4 restfn 13329 . . . 4  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
5 fndm 5343 . . . 4  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
76ndmov 6004 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
83, 7nsyl2 119 1  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  cnrest2r  17015  imacmp  17124  fiuncmp  17131  concompss  17159  kgeni  17232  kgencmp  17240  kgencmp2  17241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-top 16636
  Copyright terms: Public domain W3C validator