MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttopon Structured version   Unicode version

Theorem resttopon 17217
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )

Proof of Theorem resttopon
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16983 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3 id 20 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  A  C_  X )
4 toponmax 16985 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 ssexg 4341 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  A  e.  _V )
63, 4, 5syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
7 resttop 17216 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
82, 6, 7syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
9 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
10 dfss1 3537 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
119, 10sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
12 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
134adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  J )
14 elrestr 13648 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1512, 6, 13, 14syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1611, 15eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ( Jt  A ) )
17 elssuni 4035 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Jt  A )  ->  A  C_  U. ( Jt  A ) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_ 
U. ( Jt  A ) )
19 restval 13646 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
206, 19syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
21 inss2 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
22 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2322inex1 4336 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2423elpw 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
2521, 24mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
27 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )
2826, 27fmptd 5885 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A
)
29 frn 5589 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )  C_  ~P A )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ~P A )
3120, 30eqsstrd 3374 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  C_  ~P A )
32 sspwuni 4168 . . . 4  |-  ( ( Jt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Jt  A ) 
C_  A )
3331, 32sylib 189 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U. ( Jt  A )  C_  A
)
3418, 33eqssd 3357 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
35 istopon 16982 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  A  =  U. ( Jt  A ) ) )
368, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950  TopOnctopon 16951
This theorem is referenced by:  restuni  17218  stoig  17219  restsn2  17227  restlp  17239  restperf  17240  perfopn  17241  cnrest  17341  cnrest2  17342  cnrest2r  17343  cnpresti  17344  cnprest  17345  cnprest2  17346  restcnrm  17418  consuba  17475  kgentopon  17562  1stckgenlem  17577  kgen2ss  17579  kgencn  17580  xkoinjcn  17711  qtoprest  17741  flimrest  18007  fclsrest  18048  symgtgp  18123  dvrcn  18205  sszcld  18840  divcn  18890  cncfmptc  18933  cncfmptid  18934  cncfmpt2f  18936  cdivcncf  18939  cnmpt2pc  18945  icchmeo  18958  htpycc  18997  pcocn  19034  pcohtpylem  19036  pcopt  19039  pcopt2  19040  pcoass  19041  pcorevlem  19043  relcmpcmet  19261  limcvallem  19750  ellimc2  19756  limcres  19765  cnplimc  19766  cnlimc  19767  limccnp  19770  limccnp2  19771  dvbss  19780  perfdvf  19782  dvreslem  19788  dvres2lem  19789  dvcnp2  19798  dvcn  19799  dvaddbr  19816  dvmulbr  19817  dvcmulf  19823  dvmptres2  19840  dvmptcmul  19842  dvmptntr  19849  dvmptfsum  19851  dvcnvlem  19852  dvcnv  19853  lhop1lem  19889  lhop2  19891  lhop  19892  dvcnvrelem2  19894  dvcnvre  19895  ftc1lem3  19914  ftc1cn  19919  taylthlem1  20281  ulmdvlem3  20310  psercn  20334  abelth  20349  logcn  20530  cxpcn  20621  cxpcn2  20622  cxpcn3  20624  resqrcn  20625  sqrcn  20626  loglesqr  20634  xrlimcnp  20799  efrlim  20800  ftalem3  20849  xrge0pluscn  24318  xrge0mulc1cn  24319  lmlimxrge0  24326  pnfneige0  24328  lmxrge0  24329  esumcvg  24468  cvxpcon  24921  cvxscon  24922  cvmsf1o  24951  cvmliftlem8  24971  cvmlift2lem9a  24982  cvmlift2lem11  24992  cvmlift3lem6  25003  cnambfre  26245  ftc1cnnc  26269  areacirclem4  26284  areacirclem5  26286  ivthALT  26329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator