MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttopon Unicode version

Theorem resttopon 17147
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )

Proof of Theorem resttopon
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16914 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3 id 20 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  A  C_  X )
4 toponmax 16916 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 ssexg 4290 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  A  e.  _V )
63, 4, 5syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
7 resttop 17146 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
82, 6, 7syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
9 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
10 dfss1 3488 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
119, 10sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
12 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
134adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  J )
14 elrestr 13583 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1512, 6, 13, 14syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1611, 15eqeltrrd 2462 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ( Jt  A ) )
17 elssuni 3985 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Jt  A )  ->  A  C_  U. ( Jt  A ) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_ 
U. ( Jt  A ) )
19 restval 13581 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
206, 19syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
21 inss2 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
22 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2322inex1 4285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2423elpw 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
2521, 24mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
27 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )
2826, 27fmptd 5832 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A
)
29 frn 5537 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )  C_  ~P A )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ~P A )
3120, 30eqsstrd 3325 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  C_  ~P A )
32 sspwuni 4117 . . . 4  |-  ( ( Jt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Jt  A ) 
C_  A )
3331, 32sylib 189 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U. ( Jt  A )  C_  A
)
3418, 33eqssd 3308 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
35 istopon 16913 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  A  =  U. ( Jt  A ) ) )
368, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957    e. cmpt 4207   ran crn 4819   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ↾t crest 13575   Topctop 16881  TopOnctopon 16882
This theorem is referenced by:  restuni  17148  stoig  17149  restsn2  17157  restlp  17169  restperf  17170  perfopn  17171  cnrest  17271  cnrest2  17272  cnrest2r  17273  cnpresti  17274  cnprest  17275  cnprest2  17276  restcnrm  17348  consuba  17404  kgentopon  17491  1stckgenlem  17506  kgen2ss  17508  kgencn  17509  xkoinjcn  17640  qtoprest  17670  flimrest  17936  fclsrest  17977  symgtgp  18052  dvrcn  18134  sszcld  18719  divcn  18769  cncfmptc  18812  cncfmptid  18813  cncfmpt2f  18815  cdivcncf  18818  cnmpt2pc  18824  icchmeo  18837  htpycc  18876  pcocn  18913  pcohtpylem  18915  pcopt  18918  pcopt2  18919  pcoass  18920  pcorevlem  18922  relcmpcmet  19140  limcvallem  19625  ellimc2  19631  limcres  19640  cnplimc  19641  cnlimc  19642  limccnp  19645  limccnp2  19646  dvbss  19655  perfdvf  19657  dvreslem  19663  dvres2lem  19664  dvcnp2  19673  dvcn  19674  dvaddbr  19691  dvmulbr  19692  dvcmulf  19698  dvmptres2  19715  dvmptcmul  19717  dvmptntr  19724  dvmptfsum  19726  dvcnvlem  19727  dvcnv  19728  lhop1lem  19764  lhop2  19766  lhop  19767  dvcnvrelem2  19769  dvcnvre  19770  ftc1lem3  19789  ftc1cn  19794  taylthlem1  20156  ulmdvlem3  20185  psercn  20209  abelth  20224  logcn  20405  cxpcn  20496  cxpcn2  20497  cxpcn3  20499  resqrcn  20500  sqrcn  20501  loglesqr  20509  xrlimcnp  20674  efrlim  20675  ftalem3  20724  xrge0pluscn  24130  xrge0mulc1cn  24131  lmlimxrge0  24138  pnfneige0  24140  lmxrge0  24141  esumcvg  24272  cvxpcon  24708  cvxscon  24709  cvmsf1o  24738  cvmliftlem8  24758  cvmlift2lem9a  24769  cvmlift2lem11  24779  cvmlift3lem6  24790  ftc1cnnc  25979  areacirclem4  25984  areacirclem5  25986  ivthALT  26029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889
  Copyright terms: Public domain W3C validator