MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttopon Unicode version

Theorem resttopon 16908
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )

Proof of Theorem resttopon
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16680 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3 id 19 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  A  C_  X )
4 toponmax 16682 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  A  e.  _V )
63, 4, 5syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
7 resttop 16907 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
82, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
9 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
10 dfss1 3386 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
119, 10sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
12 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
134adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  J )
14 elrestr 13349 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1512, 6, 13, 14syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1611, 15eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ( Jt  A ) )
17 elssuni 3871 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Jt  A )  ->  A  C_  U. ( Jt  A ) )
1816, 17syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_ 
U. ( Jt  A ) )
19 restval 13347 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
206, 19syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
21 inss2 3403 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
22 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2322inex1 4171 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2423elpw 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
2521, 24mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
2625a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
27 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )
2826, 27fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A
)
29 frn 5411 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )  C_  ~P A )
3028, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ~P A )
3120, 30eqsstrd 3225 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  C_  ~P A )
32 sspwuni 4003 . . . 4  |-  ( ( Jt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Jt  A ) 
C_  A )
3331, 32sylib 188 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U. ( Jt  A )  C_  A
)
3418, 33eqssd 3209 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
35 istopon 16679 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  A  =  U. ( Jt  A ) ) )
368, 34, 35sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648
This theorem is referenced by:  restuni  16909  stoig  16910  restsn2  16918  restlp  16929  restperf  16930  perfopn  16931  cnrest  17029  cnrest2  17030  cnrest2r  17031  cnpresti  17032  cnprest  17033  cnprest2  17034  restcnrm  17106  consuba  17162  kgentopon  17249  1stckgenlem  17264  kgen2ss  17266  kgencn  17267  xkoinjcn  17397  qtoprest  17424  flimrest  17694  fclsrest  17735  symgtgp  17800  dvrcn  17882  divcn  18388  cncfmptc  18431  cncfmptid  18432  cncfmpt2f  18434  cdivcncf  18436  cnmpt2pc  18442  icchmeo  18455  htpycc  18494  pcocn  18531  pcohtpylem  18533  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcoass  18538  pcorevlem  18540  relcmpcmet  18758  limcvallem  19237  ellimc2  19243  limcres  19252  cnplimc  19253  cnlimc  19254  limccnp  19257  limccnp2  19258  dvbss  19267  perfdvf  19269  dvreslem  19275  dvres2lem  19276  dvcnp2  19285  dvcn  19286  dvaddbr  19303  dvmulbr  19304  dvcmulf  19310  dvmptres2  19327  dvmptcmul  19329  dvmptntr  19336  dvmptfsum  19338  dvcnvlem  19339  dvcnv  19340  lhop1lem  19376  lhop2  19378  lhop  19379  dvcnvrelem2  19381  dvcnvre  19382  ftc1lem3  19401  ftc1cn  19406  taylthlem1  19768  ulmdvlem3  19795  psercn  19818  abelth  19833  logcn  20010  cxpcn  20101  cxpcn2  20102  cxpcn3  20104  resqrcn  20105  sqrcn  20106  loglesqr  20114  xrlimcnp  20279  efrlim  20280  ftalem3  20328  xrge0pluscn  23337  xrge0mulc1cn  23338  lmlimxrge0  23387  pnfneige0  23389  lmxrge0  23390  esumcvg  23469  cvxpcon  23788  cvxscon  23789  cvmsf1o  23818  cvmliftlem8  23838  cvmlift2lem9a  23849  cvmlift2lem11  23859  cvmlift3lem6  23870  ftc1cnnc  25025  areacirclem4  25030  areacirclem5  25032  stoi  25704  ivthALT  26361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator