MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni Structured version   Unicode version

Theorem restuni 17218
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 16990 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 resttopon 17217 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
42, 3sylanb 459 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5 toponuni 16984 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950  TopOnctopon 16951
This theorem is referenced by:  restuni2  17223  restcld  17228  restopn2  17233  neitr  17236  restcls  17237  restntr  17238  rncmp  17451  cmpsublem  17454  cmpsub  17455  fiuncmp  17459  consubclo  17479  conima  17480  concn  17481  nllyrest  17541  cldllycmp  17550  lly1stc  17551  llycmpkgen2  17574  1stckgen  17578  txkgen  17676  xkopjcn  17680  xkococnlem  17683  cnextfres  18091  cncfcnvcn  18943  cnheibor  18972  evthicc  19348  psercn  20334  abelth  20349  conpcon  24914  cvmscld  24952  cvmsss2  24953  cvmliftmolem1  24960  cvmliftlem10  24973  cvmlift2lem9  24990  cvmlift2lem11  24992  cvmlift2lem12  24993  cvmlift3lem7  25004  ivthALT  26329  stoweidlem28  27744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator