MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni2 Unicode version

Theorem restuni2 17004
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restin.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restuni2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  A ) )

Proof of Theorem restuni2
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  Top )
2 inss2 3466 . . 3  |-  ( A  i^i  X )  C_  X
3 restin.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
43restuni 16999 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  i^i  X ) 
C_  X )  -> 
( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  ( A  i^i  X ) ) )
51, 2, 4sylancl 643 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  ( A  i^i  X ) ) )
63restin 17003 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  =  ( Jt  ( A  i^i  X
) ) )
76unieqd 3919 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  ( A  i^i  X ) ) )
85, 7eqtr4d 2393 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    i^i cin 3227    C_ wss 3228   U.cuni 3908  (class class class)co 5945   ↾t crest 13424   Topctop 16737
This theorem is referenced by:  resttopon2  17005  1stcrest  17285  kgencmp2  17347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-fin 6955  df-fi 7255  df-rest 13426  df-topgen 13443  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745
  Copyright terms: Public domain W3C validator