MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni2 Structured version   Unicode version

Theorem restuni2 17236
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restin.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restuni2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  A ) )

Proof of Theorem restuni2
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  Top )
2 inss2 3564 . . 3  |-  ( A  i^i  X )  C_  X
3 restin.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
43restuni 17231 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  i^i  X ) 
C_  X )  -> 
( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  ( A  i^i  X ) ) )
51, 2, 4sylancl 645 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  ( A  i^i  X ) ) )
63restin 17235 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  =  ( Jt  ( A  i^i  X
) ) )
76unieqd 4028 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  ( A  i^i  X ) ) )
85, 7eqtr4d 2473 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   U.cuni 4017  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653   Topctop 16963
This theorem is referenced by:  resttopon2  17237  1stcrest  17521  kgencmp2  17583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971
  Copyright terms: Public domain W3C validator