MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcl Unicode version

Theorem resubcl 9111
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 8827 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 recn 8827 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9095 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
5 renegcl 9110 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
6 readdcl 8820 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
75, 6sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
84, 7eqeltrrd 2358 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  peano2rem  9113  resubcld  9211  ltaddsub  9248  leaddsub  9250  posdif  9267  lt2sub  9272  le2sub  9273  cju  9742  elz2  10040  uzindOLD  10106  rpnnen1lem5  10346  difrp  10387  qbtwnre  10526  iooshf  10728  iccshftl  10771  lincmb01cmp  10777  fracle1  10935  fldiv  10964  modcl  10976  modsubdir  11008  expubnd  11162  absdiflt  11801  absdifle  11802  elicc4abs  11803  abssubge0  11811  abs2difabs  11818  rddif  11824  absrdbnd  11825  climsup  12143  flo1  12313  supcvg  12314  resin4p  12418  recos4p  12419  cos01bnd  12466  cos01gt0  12471  pythagtriplem12  12879  pythagtriplem14  12881  pythagtriplem16  12883  fldivp1  12945  prmreclem6  12968  bl2ioo  18298  ioo2bl  18299  ioo2blex  18300  blssioo  18301  blcvx  18304  reconnlem2  18332  opnreen  18336  iirev  18427  iihalf2  18431  iccpnfhmeo  18443  iccvolcl  18924  ismbf3d  19009  itgrecl  19152  cmvth  19338  dvle  19354  dvcvx  19367  dvfsumge  19369  aalioulem3  19714  aaliou  19718  aaliou3lem9  19730  abelthlem2  19808  abelthlem7  19814  abelth2  19818  sincosq1sgn  19866  sincosq2sgn  19867  sincosq3sgn  19868  sincosq4sgn  19869  tangtx  19873  sinq12gt0  19875  cosq14gt0  19878  cosq14ge0  19879  cosne0  19892  sinord  19896  resinf1o  19898  tanregt0  19901  efif1olem2  19905  relogdiv  19946  logneg2  19969  logdivlti  19971  logcnlem4  19992  logccv  20010  cxpaddlelem  20091  loglesqr  20098  ang180lem2  20108  acoscos  20189  acosbnd  20196  acosrecl  20199  atanlogaddlem  20209  atans2  20227  leibpi  20238  divsqrsumo1  20278  cvxcl  20279  scvxcvx  20280  jensenlem2  20282  amgmlem  20284  harmonicbnd4  20304  ftalem5  20314  basellem9  20326  mumullem2  20418  ppiub  20443  chtub  20451  bposlem1  20523  bposlem6  20528  bposlem9  20531  chtppilim  20624  chto1ub  20625  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0re  20662  log2sumbnd  20693  selberglem2  20695  pntrmax  20713  pntpbnd2  20736  pntlem3  20758  xlt2addrd  23253  zetacvg  23689  rescon  23777  sinccvglem  24005  mulsuble0b  24088  fz0n  24097  brbtwn2  24533  colinearalglem4  24537  eleesub  24539  eleesubd  24540  axsegconlem2  24546  ax5seglem2  24557  ax5seglem3  24559  axpaschlem  24568  axpasch  24569  axcontlem2  24593  truni3  25507  cbci  25508  dmse1  25603  msr3  25605  msr4  25606  mslb1  25607  2wsms  25608  iintlem1  25610  trran  25614  cnvtr  25616  lvsovso  25626  geomcau  26475  bfp  26548  ismrer1  26562  iccbnd  26564  rmspecsqrnq  26991  jm2.17a  27047  acongeq  27070  jm3.1lem2  27111  fmul01lt1lem2  27715  ioovolcl  27742  stoweidlem1  27750  stoweidlem11  27760  stoweidlem13  27762  stoweidlem14  27763  stoweidlem18  27767  stoweidlem23  27772  stoweidlem24  27773  stoweidlem25  27774  stoweidlem26  27775  stoweidlem34  27783  stoweidlem40  27789  stoweidlem41  27790  stoweidlem42  27791  stoweidlem45  27794  stoweidlem59  27808  stoweidlem60  27809  stoweidlem62  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator