MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcl Unicode version

Theorem resubcl 9258
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 8974 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 recn 8974 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9242 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
5 renegcl 9257 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
6 readdcl 8967 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
75, 6sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
84, 7eqeltrrd 2441 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883    + caddc 8887    - cmin 9184   -ucneg 9185
This theorem is referenced by:  peano2rem  9260  resubcld  9358  ltaddsub  9395  leaddsub  9397  posdif  9414  lt2sub  9419  le2sub  9420  cju  9889  elz2  10191  uzindOLD  10257  rpnnen1lem5  10497  difrp  10538  qbtwnre  10678  iooshf  10881  iccshftl  10924  lincmb01cmp  10930  fracle1  11099  fldiv  11128  modcl  11140  modsubdir  11172  expubnd  11327  absdiflt  12008  absdifle  12009  elicc4abs  12010  abssubge0  12018  abs2difabs  12025  rddif  12031  absrdbnd  12032  climsup  12350  flo1  12521  supcvg  12522  resin4p  12626  recos4p  12627  cos01bnd  12674  cos01gt0  12679  pythagtriplem12  13087  pythagtriplem14  13089  pythagtriplem16  13091  fldivp1  13153  prmreclem6  13176  bl2ioo  18511  ioo2bl  18512  ioo2blex  18513  blssioo  18514  blcvx  18517  reconnlem2  18546  opnreen  18550  iirev  18642  iihalf2  18646  iccpnfhmeo  18658  iccvolcl  19139  ismbf3d  19224  itgrecl  19367  cmvth  19553  dvle  19569  dvcvx  19582  dvfsumge  19584  aalioulem3  19929  aaliou  19933  aaliou3lem9  19945  abelthlem2  20026  abelthlem7  20032  abelth2  20036  sincosq1sgn  20084  sincosq2sgn  20085  sincosq3sgn  20086  sincosq4sgn  20087  tangtx  20091  sinq12gt0  20093  cosq14gt0  20096  cosq14ge0  20097  cosne0  20110  sinord  20114  resinf1o  20116  tanregt0  20119  efif1olem2  20123  relogdiv  20165  logneg2  20188  logdivlti  20193  logcnlem4  20214  logccv  20232  cxpaddlelem  20313  loglesqr  20320  ang180lem2  20330  acoscos  20411  acosbnd  20418  acosrecl  20421  atanlogaddlem  20431  atans2  20449  leibpi  20460  divsqrsumo1  20500  cvxcl  20501  scvxcvx  20502  jensenlem2  20504  amgmlem  20506  harmonicbnd4  20527  ftalem5  20537  basellem9  20549  mumullem2  20641  ppiub  20666  chtub  20674  bposlem1  20746  bposlem6  20751  bposlem9  20754  chtppilim  20847  chto1ub  20848  rplogsumlem2  20857  rpvmasumlem  20859  dchrisum0flblem1  20880  dchrisum0re  20885  log2sumbnd  20916  selberglem2  20918  pntrmax  20936  pntpbnd2  20959  pntlem3  20981  xlt2addrd  23645  zetacvg  24368  rescon  24501  sinccvglem  24677  mulsuble0b  24762  fz0n  24771  refallfaccl  24892  brbtwn2  25360  colinearalglem4  25364  eleesub  25366  eleesubd  25367  axsegconlem2  25373  ax5seglem2  25384  ax5seglem3  25386  axpaschlem  25395  axpasch  25396  axcontlem2  25420  itg2addnc  25762  geomcau  26067  bfp  26139  ismrer1  26153  iccbnd  26155  rmspecsqrnq  26582  jm2.17a  26638  acongeq  26661  jm3.1lem2  26702  fmul01lt1lem2  27306  ioovolcl  27333  stoweidlem1  27341  stoweidlem11  27351  stoweidlem13  27353  stoweidlem14  27354  stoweidlem18  27358  stoweidlem23  27363  stoweidlem24  27364  stoweidlem25  27365  stoweidlem26  27366  stoweidlem34  27374  stoweidlem40  27380  stoweidlem41  27381  stoweidlem42  27382  stoweidlem45  27385  stoweidlem59  27399  stoweidlem60  27400  stoweidlem62  27402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-sub 9186  df-neg 9187
  Copyright terms: Public domain W3C validator