MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcl Structured version   Unicode version

Theorem resubcl 9370
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 9085 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 recn 9085 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9354 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
5 renegcl 9369 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
6 readdcl 9078 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
75, 6sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
84, 7eqeltrrd 2513 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994    + caddc 8998    - cmin 9296   -ucneg 9297
This theorem is referenced by:  peano2rem  9372  resubcld  9470  ltaddsub  9507  leaddsub  9509  posdif  9526  lt2sub  9531  le2sub  9532  cju  10001  elz2  10303  uzindOLD  10369  rpnnen1lem5  10609  difrp  10650  qbtwnre  10790  iooshf  10994  iccshftl  11037  lincmb01cmp  11043  fracle1  11217  fldiv  11246  modcl  11258  modsubdir  11290  expubnd  11445  absdiflt  12126  absdifle  12127  elicc4abs  12128  abssubge0  12136  abs2difabs  12143  rddif  12149  absrdbnd  12150  climsup  12468  flo1  12639  supcvg  12640  resin4p  12744  recos4p  12745  cos01bnd  12792  cos01gt0  12797  pythagtriplem12  13205  pythagtriplem14  13207  pythagtriplem16  13209  fldivp1  13271  prmreclem6  13294  bl2ioo  18828  ioo2bl  18829  ioo2blex  18830  blssioo  18831  blcvx  18834  reconnlem2  18863  opnreen  18867  iirev  18959  iihalf2  18963  iccpnfhmeo  18975  iccvolcl  19466  ismbf3d  19549  itgrecl  19692  cmvth  19880  dvle  19896  dvcvx  19909  dvfsumge  19911  aalioulem3  20256  aaliou  20260  aaliou3lem9  20272  abelthlem2  20353  abelthlem7  20359  abelth2  20363  sincosq1sgn  20411  sincosq2sgn  20412  sincosq3sgn  20413  sincosq4sgn  20414  tangtx  20418  sinq12gt0  20420  cosq14gt0  20423  cosq14ge0  20424  cosne0  20437  sinord  20441  resinf1o  20443  tanregt0  20446  efif1olem2  20450  relogdiv  20492  logneg2  20515  logdivlti  20520  logcnlem4  20541  logccv  20559  cxpaddlelem  20640  loglesqr  20647  ang180lem2  20657  acoscos  20738  acosbnd  20745  acosrecl  20748  atanlogaddlem  20758  atans2  20776  leibpi  20787  divsqrsumo1  20827  cvxcl  20828  scvxcvx  20829  jensenlem2  20831  amgmlem  20833  harmonicbnd4  20854  ftalem5  20864  basellem9  20876  mumullem2  20968  ppiub  20993  chtub  21001  bposlem1  21073  bposlem6  21078  bposlem9  21081  chtppilim  21174  chto1ub  21175  rplogsumlem2  21184  rpvmasumlem  21186  dchrisum0flblem1  21207  dchrisum0re  21212  log2sumbnd  21243  selberglem2  21245  pntrmax  21263  pntpbnd2  21286  pntlem3  21308  xlt2addrd  24129  zetacvg  24804  rescon  24938  sinccvglem  25114  mulsuble0b  25198  fz0n  25207  refallfaccl  25339  brbtwn2  25849  colinearalglem4  25853  eleesub  25855  eleesubd  25856  axsegconlem2  25862  ax5seglem2  25873  ax5seglem3  25875  axpaschlem  25884  axpasch  25885  axcontlem2  25909  sin2h  26250  tan2h  26252  mblfinlem3  26257  mblfinlem4  26258  dvtanlem  26268  itg2addnclem  26270  itg2addnclem3  26272  ftc1anclem5  26298  ftc1anclem6  26299  ftc1anclem7  26300  geomcau  26479  bfp  26547  ismrer1  26561  iccbnd  26563  rmspecsqrnq  26983  jm2.17a  27039  acongeq  27062  jm3.1lem2  27103  ioovolcl  27732  stoweidlem59  27798  nn0resubcl  28122  ubmelm1fzo  28150  fzonmapblen  28157  subsubelfzo0  28158  2submod  28175  cshwidx  28276  cshwidxm1  28279  cshwidxm  28280  2cshw1lem1  28282  2cshw1lem2  28283  2cshw2lem1  28286  2cshw2lem2  28287  cshwssizelem4a  28317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298  df-neg 9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator