MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcld Unicode version

Theorem resubcld 9211
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resubcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resubcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resubcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 resubcl 9111 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   RRcr 8736    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  ltsubadd  9244  lesubadd  9246  lesub1  9268  lesub2  9269  ltsub1  9270  ltsub2  9271  lt2sub  9272  le2sub  9273  ltmul1a  9605  cru  9738  qbtwnre  10526  lincmb01cmp  10777  iccf1o  10778  xov1plusxeqvd  10780  intfracq  10963  fldiv  10964  modlt  10981  modsubdir  11008  serle  11101  expmulnbnd  11233  discr  11238  fzsdom2  11382  crre  11599  remullem  11613  sqrlem7  11734  absrdbnd  11825  fzomaxdiflem  11826  caubnd2  11841  amgm2  11853  mulcn2  12069  reccn2  12070  rlimo1  12090  climle  12113  climsqz  12114  climsqz2  12115  rlimle  12121  isercolllem1  12138  climsup  12143  caucvgrlem  12145  caucvgrlem2  12147  iseraltlem2  12155  iseraltlem3  12156  iseralt  12157  fsumle  12257  cvgcmp  12274  cvgcmpce  12276  eflt  12397  resinhcl  12436  tanhlt1  12440  sin01bnd  12465  sin01gt0  12470  moddvds  12538  bitscmp  12629  bitsinv1lem  12632  smueqlem  12681  pcbc  12948  4sqlem15  13006  blss2  17959  blss  17972  nm2dif  18146  nlmvscnlem2  18196  nrginvrcnlem  18201  iccntr  18326  icccmplem2  18328  metdstri  18355  cnllycmp  18454  evth  18457  lebnumii  18464  ipcnlem2  18671  cncmet  18744  minveclem3b  18792  minveclem4  18796  ivthlem2  18812  ivthlem3  18813  ovollb2lem  18847  ovoliunlem1  18861  ovolscalem1  18872  ovolicc1  18875  ovolicc2lem4  18879  ovolicc2  18881  ovolicc  18882  voliunlem2  18908  ovolioo  18925  ioorcl2  18927  uniioovol  18934  uniioombllem2  18938  uniioombllem3a  18939  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  uniioombllem6  18943  opnmbllem  18956  volcn  18961  vitalilem2  18964  ismbf3d  19009  mbfaddlem  19015  i1fadd  19050  itg1addlem4  19054  mbfi1fseqlem6  19075  itg2seq  19097  itg2split  19104  itg2cnlem2  19117  itg2cn  19118  itgrevallem1  19149  dvcjbr  19298  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  cmvth  19338  mvth  19339  dvlip  19340  dvlip2  19342  c1liplem1  19343  dvgt0  19351  dvlt0  19352  dvge0  19353  dvle  19354  dvivthlem1  19355  lhop1lem  19360  lhop  19363  dvcnvrelem1  19364  dvcnvrelem2  19365  dvcnvre  19366  dvcvx  19367  dvfsumle  19368  dvfsumge  19369  dvfsumrlimf  19372  dvfsumlem2  19374  dvfsumlem3  19375  dvfsumlem4  19376  dvfsum2  19381  ftc1a  19384  ftc1lem4  19386  coe1mul3  19485  ply1divex  19522  plydivex  19677  aalioulem2  19713  aalioulem3  19714  aalioulem4  19715  aalioulem5  19716  aalioulem6  19717  aaliou3lem7  19729  taylthlem2  19753  mtest  19781  pilem2  19828  tangtx  19873  cosordlem  19893  efif1olem2  19905  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  isosctrlem2  20119  chordthmlem2  20130  chordthmlem4  20132  atanlogsublem  20211  atantan  20219  birthdaylem3  20248  logdifbnd  20288  emcllem1  20289  emcllem2  20290  emcllem5  20293  emcllem6  20294  harmonicbnd4  20304  fsumharmonic  20305  ftalem2  20311  ftalem5  20314  chpub  20459  logfaclbnd  20461  logfacbnd3  20462  logexprlim  20464  bposlem1  20523  bposlem9  20531  lgseisenlem1  20588  lgsquadlem1  20593  chtppilimlem1  20622  vmadivsum  20631  vmadivsumb  20632  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem2  20639  dchrisum0re  20662  rplogsum  20676  mulogsumlem  20680  mulog2sumlem1  20683  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  log2sumbnd  20693  selbergb  20698  selberg2lem  20699  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem1  20706  selberg3lem2  20707  selberg3  20708  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrf  20712  pntrmax  20713  pntrsumo1  20714  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1a  20734  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemg  20747  pntlemn  20749  pntlemj  20752  pntlemf  20754  pntlemo  20756  pntlem3  20758  pntleml  20760  nvabs  21239  dipcj  21290  minvecolem4  21459  fzsplit3  23031  bcm1n  23032  ballotlemfcc  23052  ballotlemfrcn0  23088  lt2addrd  23249  xlt2addrd  23253  cnre2csqlem  23294  cnre2csqima  23295  tpr2rico  23296  dya2ub  23575  dya2iocseg  23579  subfacval3  23720  eqeelen  24532  brbtwn2  24533  colinearalg  24538  axcgrid  24544  axsegconlem1  24545  axsegconlem3  24547  axsegconlem8  24552  axsegconlem9  24553  axsegconlem10  24554  ax5seglem3a  24558  ax5seg  24566  axpaschlem  24568  axcontlem8  24599  bpoly4  24794  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  areacirclem4  24927  areacirclem5  24929  areacirclem6  24930  areacirc  24931  altretop  25600  msr3  25605  lvsovso  25626  subclrvd  25674  cntotbnd  26520  rrnmet  26553  rrndstprj1  26554  rrndstprj2  26555  icodiamlt  26905  irrapxlem2  26908  irrapxlem3  26909  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell1qrgaplem  26958  rmspecfund  26994  rmspecpos  27001  jm2.24nn  27046  jm2.17c  27049  fzmaxdif  27068  acongeq  27070  modabsdifz  27078  jm3.1lem2  27111  climinf  27732  stoweidlem12  27761  wallispilem3  27816  wallispilem4  27817  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  stirlinglem5  27827  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator