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Theorem retbwax1 1490
Description: tbw-ax1 1455 rederived from merco1 1468.

This theorem, along with retbwax2 1471, retbwax3 1478, and retbwax4 1470, shows that merco1 1468 with ax-mp 8 can be used as a complete axiomatization of propositional calculus. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
retbwax1  |-  ( (
ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )

Proof of Theorem retbwax1
StepHypRef Expression
1 merco1lem18 1489 . . 3  |-  ( ( ps  ->  ( ph  ->  ch ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )
2 merco1lem16 1487 . . 3  |-  ( ( ( ps  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )
4 merco1lem15 1486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
5 merco1lem15 1486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) )  -> 
( ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
7 merco1lem18 1489 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )
9 merco1lem14 1485 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )
11 merco1lem14 1485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ( ( ps 
->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )
12 merco1lem10 1481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  ( (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  F.  )
)  ->  ( (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  (
( ( ph  ->  ch )  ->  ph )  -> 
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )
) )
13 merco1 1468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  F.  ) )  -> 
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  ( (
( ph  ->  ch )  ->  ph )  ->  (
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ph  ->  ch )  ->  ph )  ->  (
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  (
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  -> 
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )
) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  ( (
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  ->  ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )
)
15 merco1 1468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  (
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  -> 
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )
)  ->  ( (
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  (
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  (
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )
17 merco1 1468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  ph )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  ->  ( ph  ->  ch ) )  ->  (
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( (
( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ps 
->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ps 
->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
1911, 18ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ps 
->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )
20 merco1lem15 1486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
22 merco1lem10 1481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) ) )
23 merco1lem9 1480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) ) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )
25 merco1lem13 1484 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ch )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )
2721, 26ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
2810, 27ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
293, 28ax-mp 8 1  |-  ( (
ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    F. wfal 1308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1310  df-fal 1311
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