MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Unicode version

Theorem retopbas 18755
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas  |-  ran  (,)  e. 
TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 10966 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
21fdmi 5563 . . . 4  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
32imaeq2i 5168 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )
4 imadmrn 5182 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ran  (,)
53, 4eqtr3i 2434 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  =  ran  (,)
6 ssid 3335 . . 3  |-  RR*  C_  RR*
76qtopbaslem 18753 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  e.  TopBases
85, 7eqeltrri 2483 1  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   ~Pcpw 3767    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   RRcr 8953   RR*cxr 9083   (,)cioo 10880   TopBasesctb 16925
This theorem is referenced by:  retop  18756  uniretop  18757  iooretop  18761  qdensere  18765  tgioo  18788  xrtgioo  18798  bndth  18944  ovolicc2  19379  cncombf  19511  cnmbf  19512  elmbfmvol2  24578  iccllyscon  24898  rellyscon  24899  mblfinlem2  26152  mblfinlem3  26153  ismblfin  26154  cnambfre  26162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-ioo 10884  df-bases 16928
  Copyright terms: Public domain W3C validator