MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Unicode version

Theorem retopbas 18269
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas  |-  ran  (,)  e. 
TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 10741 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
21fdmi 5394 . . . 4  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
32imaeq2i 5010 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )
4 imadmrn 5024 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ran  (,)
53, 4eqtr3i 2305 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  =  ran  (,)
6 ssid 3197 . . 3  |-  RR*  C_  RR*
76qtopbaslem 18267 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  e.  TopBases
85, 7eqeltrri 2354 1  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   RRcr 8736   RR*cxr 8866   (,)cioo 10656   TopBasesctb 16635
This theorem is referenced by:  retop  18270  uniretop  18271  iooretop  18275  qdensere  18279  tgioo  18302  xrtgioo  18312  bndth  18456  ovolicc2  18881  cncombf  19013  cnmbf  19014  elmbfmvol2  23572  iccllyscon  23781  rellyscon  23782  basexre  25522  altretop  25600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ioo 10660  df-bases 16638
  Copyright terms: Public domain W3C validator