MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Unicode version

Theorem retopbas 18285
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas  |-  ran  (,)  e. 
TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 10757 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
21fdmi 5410 . . . 4  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
32imaeq2i 5026 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )
4 imadmrn 5040 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ran  (,)
53, 4eqtr3i 2318 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  =  ran  (,)
6 ssid 3210 . . 3  |-  RR*  C_  RR*
76qtopbaslem 18283 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  e.  TopBases
85, 7eqeltrri 2367 1  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   ~Pcpw 3638    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   RRcr 8752   RR*cxr 8882   (,)cioo 10672   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  retop  18286  uniretop  18287  iooretop  18291  qdensere  18295  tgioo  18318  xrtgioo  18328  bndth  18472  ovolicc2  18897  cncombf  19029  cnmbf  19030  elmbfmvol2  23587  iccllyscon  23796  rellyscon  23797  basexre  25625  altretop  25703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ioo 10676  df-bases 16654
  Copyright terms: Public domain W3C validator