MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopcon Structured version   Unicode version

Theorem retopcon 18853
Description: Corollary of reconn 18852. The set of real numbers is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
retopcon  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Con

Proof of Theorem retopcon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 18788 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 uniretop 18789 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
32restid 13654 . . 3  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  Top  ->  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  RR )  =  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  RR )  =  ( topGen ` 
ran  (,) )
5 iccssre 10985 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x [,] y
)  C_  RR )
65rgen2a 2765 . . 3  |-  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x [,] y )  C_  RR
7 ssid 3360 . . . 4  |-  RR  C_  RR
8 reconn 18852 . . . 4  |-  ( RR  C_  RR  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )t  RR )  e.  Con  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x [,] y )  C_  RR ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  RR )  e.  Con  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x [,] y )  C_  RR )
106, 9mpbir 201 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  RR )  e.  Con
114, 10eqeltrri 2507 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Con
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698    C_ wss 3313   ran crn 4872   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   RRcr 8982   (,)cioo 10909   [,]cicc 10912   ↾t crest 13641   topGenctg 13658   Topctop 16951   Conccon 17467
This theorem is referenced by:  mblfinlem  26235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-ioo 10913  df-ico 10915  df-icc 10916  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-rest 13643  df-topgen 13660  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-cld 17076  df-con 17468
  Copyright terms: Public domain W3C validator