MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reu2 Unicode version

Theorem reu2 3067
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)
Assertion
Ref Expression
reu2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu2
StepHypRef Expression
1 nfv 1626 . . 3  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  ph )
21eu2 2265 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y ) ) )
3 df-reu 2658 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
4 df-rex 2657 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
5 df-ral 2656 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
6 19.21v 1902 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
7 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  y  e.  A
8 nfs1v 2141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
97, 8nfan 1836 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )
10 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
11 sbequ12 1933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
1210, 11anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) ) )
139, 12sbie 2073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )
1413anbi2i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
15 an4 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
1614, 15bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
1716imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )
)
18 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
19 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
2017, 18, 193bitri 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
2120albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
22 df-ral 2656 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
2322imbi2i 304 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
246, 21, 233bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
2524albii 1572 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
265, 25bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) )
274, 26anbi12i 679 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) ) )
282, 3, 273bitr4i 269 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   [wsb 1655    e. wcel 1717   E!weu 2240   A.wral 2651   E.wrex 2652   E!wreu 2653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658
  Copyright terms: Public domain W3C validator