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Theorem reu8 2961
Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rmo4.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
reu8  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem reu8
StepHypRef Expression
1 rmo4.1 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
21cbvreuv 2766 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! y  e.  A  ps )
3 reu6 2954 . 2  |-  ( E! y  e.  A  ps  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x ) )
4 dfbi2 609 . . . . 5  |-  ( ( ps  <->  y  =  x )  <->  ( ( ps 
->  y  =  x
)  /\  ( y  =  x  ->  ps )
) )
54ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x )  <->  A. y  e.  A  ( ( ps  ->  y  =  x )  /\  ( y  =  x  ->  ps ) ) )
6 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  /\  ph ) )
7 equcom 1647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
87imbi2i 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  ->  x  =  y )  <->  ( ps  ->  y  =  x ) )
98ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x ) )
109a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x ) ) )
11 biimt 325 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  ( x  e.  A  ->  ph ) ) )
12 df-ral 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
y  =  x  ->  ps )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  (
y  =  x  ->  ps ) ) )
13 bi2.04 350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  -> 
( y  =  x  ->  ps ) )  <-> 
( y  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  ps )
) )
1413albii 1553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  ( y  =  x  ->  ps )
)  <->  A. y ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  ->  ps ) ) )
15 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
16 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1716, 1imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  ps )
) )
1817bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( y  e.  A  ->  ps )  <->  ( x  e.  A  ->  ph )
) )
1918equcoms 1651 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  ->  ps )  <->  ( x  e.  A  ->  ph )
) )
2015, 19ceqsalv 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  ps )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ph ) )
2112, 14, 203bitrri 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  ph )  <->  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps ) )
2211, 21syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<-> 
A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps ) ) )
2310, 22anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  /\  ph )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) ) )
246, 23syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) ) )
25 r19.26 2675 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
( ps  ->  y  =  x )  /\  (
y  =  x  ->  ps ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) )
2624, 25syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ( ps  ->  y  =  x )  /\  ( y  =  x  ->  ps ) )  <-> 
( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) ) )
275, 26syl5bb 248 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ps  <->  y  =  x )  <->  ( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) ) )
2827rexbiia 2576 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x )  <->  E. x  e.  A  ( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
292, 3, 283bitri 262 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545
This theorem is referenced by:  grpinveu  14516  grpoideu  20876  grpoinveu  20889  cvmlift3lem2  23851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-v 2790
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