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Theorem reuind 3002
Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
reuind.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
reuind.2  |-  ( x  =  y  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
reuind  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  E! z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    x, z, B    x, y, C, z    ph, y,
z    ps, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem reuind
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reuind.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  A  =  B )
21eleq1d 2382 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  C  <->  B  e.  C ) )
3 reuind.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  <->  ( B  e.  C  /\  ps )
) )
54cbvexv 1975 . . . . 5  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  <->  E. y ( B  e.  C  /\  ps )
)
6 r19.41v 2727 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  C  ( z  =  B  /\  ps )  <->  ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
76exbii 1573 . . . . . 6  |-  ( E. y E. z  e.  C  ( z  =  B  /\  ps )  <->  E. y ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
8 rexcom4 2841 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )  <->  E. y E. z  e.  C  ( z  =  B  /\  ps )
)
9 risset 2624 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  C  <->  E. z  e.  C  z  =  B )
109anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  C  /\  ps )  <->  ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
1110exbii 1573 . . . . . 6  |-  ( E. y ( B  e.  C  /\  ps )  <->  E. y ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
127, 8, 113bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( E. y ( B  e.  C  /\  ps )  <->  E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)
135, 12bitri 240 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  <->  E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)
14 eqeq2 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  (
z  =  A  <->  z  =  B ) )
1514imim2i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  ( z  =  A  <->  z  =  B ) ) )
16 bi2 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  A  <->  z  =  B )  ->  (
z  =  B  -> 
z  =  A ) )
1716imim2i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( z  =  A  <-> 
z  =  B ) )  ->  ( (
( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
z  =  B  -> 
z  =  A ) ) )
18 an31 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  /\  z  =  B )  <->  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  ( A  e.  C  /\  ph )
) )
1918imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  z  =  B )  ->  z  =  A )  <->  ( (
( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  z  =  A ) )
20 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  z  =  B )  ->  z  =  A )  <->  ( (
( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
z  =  B  -> 
z  =  A ) ) )
21 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  /\  ( A  e.  C  /\  ph ) )  ->  z  =  A )  <->  ( (
z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
2219, 20, 213bitr3i 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( z  =  B  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
2317, 22sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( z  =  A  <-> 
z  =  B ) )  ->  ( (
z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
2415, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
25242alimi 1551 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  A. x A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
26 19.23v 1863 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
27 an12 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  ( B  e.  C  /\  (
z  =  B  /\  ps ) ) )
28 eleq1 2376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  C  <->  B  e.  C ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  B  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  <->  B  e.  C ) )
3029pm5.32ri 619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) )  <-> 
( B  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) ) )
3127, 30bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  ( z  e.  C  /\  (
z  =  B  /\  ps ) ) )
3231exbii 1573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  E. y
( z  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) ) )
33 19.42v 1877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( z  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) )  <->  ( z  e.  C  /\  E. y
( z  =  B  /\  ps ) ) )
3432, 33bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  ( z  e.  C  /\  E. y
( z  =  B  /\  ps ) ) )
3534imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
3626, 35bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
3736albii 1557 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  A. x ( ( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
38 19.21v 1862 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
3937, 38bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( ( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4025, 39sylib 188 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  (
( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps ) )  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4140exp3a 425 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  (
z  e.  C  -> 
( E. y ( z  =  B  /\  ps )  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) ) )
4241reximdvai 2687 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )  ->  E. z  e.  C  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4313, 42syl5bi 208 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  E. z  e.  C  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4443imp 418 . 2  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  E. z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )
45 pm4.24 624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  C  /\  ph )  <->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( A  e.  C  /\  ph )
) )
4645biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( A  e.  C  /\  ph ) ) )
47 prth 554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  (
( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( A  e.  C  /\  ph ) )  -> 
( z  =  A  /\  w  =  A ) ) )
48 eqtr3 2335 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  A )  ->  z  =  w )
4946, 47, 48syl56 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
5049alanimi 1553 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
51 19.23v 1863 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w )  <->  ( E. x
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
5251biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w )  ->  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
5352com12 27 . . . . . 6  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w )  ->  z  =  w ) )
5450, 53syl5 28 . . . . 5  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( ( A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  -> 
z  =  w ) )
5554a1d 22 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  (
( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  z  =  w ) ) )
5655ralrimivv 2668 . . 3  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  A. z  e.  C  A. w  e.  C  ( ( A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  -> 
z  =  w ) )
5756adantl 452 . 2  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  A. z  e.  C  A. w  e.  C  ( ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  z  =  w ) )
58 eqeq1 2322 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  A  <->  w  =  A ) )
5958imbi2d 307 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  <-> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) ) )
6059albidv 1616 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  <->  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) ) )
6160reu4 2993 . 2  |-  ( E! z  e.  C  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  <->  ( E. z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. z  e.  C  A. w  e.  C  ( ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  z  =  w ) ) )
6244, 57, 61sylanbrc 645 1  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  E! z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1531   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   E!wreu 2579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-v 2824
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