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Theorem reuss2 3606
Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
reuss2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem reuss2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2717 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2 df-reu 2718 . . 3  |-  ( E! x  e.  B  ps  <->  E! x ( x  e.  B  /\  ps )
)
31, 2anbi12i 680 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E! x  e.  B  ps )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E! x ( x  e.  B  /\  ps ) ) )
4 df-ral 2716 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) ) )
5 ssel 3328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  B )
)
6 prth 556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  B )  /\  ( ph  ->  ps ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  (
x  e.  B  /\  ps ) ) )
75, 6sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( ph  ->  ps )
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) )
87exp4b 592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  (
x  e.  B  /\  ps ) ) ) ) )
98com23 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ( x  e.  B  /\  ps ) ) ) ) )
109a2d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  ( x  e.  B  /\  ps ) ) ) ) )
1110imp4a 574 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  (
x  e.  B  /\  ps ) ) ) )
1211alimdv 1632 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) )  ->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) ) )
1312imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) ) )  ->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) )
144, 13sylan2b 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  (
ph  ->  ps ) )  ->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) )
15 euimmo 2336 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
)  ->  ( E! x ( x  e.  B  /\  ps )  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  (
ph  ->  ps ) )  ->  ( E! x
( x  e.  B  /\  ps )  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph )
) )
17 eu5 2325 . . . . . 6  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1817simplbi2 610 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  ->  E! x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1916, 18syl9 69 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  (
ph  ->  ps ) )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( E! x ( x  e.  B  /\  ps )  ->  E! x ( x  e.  A  /\  ph ) ) ) )
2019imp32 424 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E! x ( x  e.  B  /\  ps ) ) )  ->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
21 df-reu 2718 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2220, 21sylibr 205 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E! x ( x  e.  B  /\  ps ) ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
233, 22sylan2b 463 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1727   E!weu 2287   E*wmo 2288   A.wral 2711   E.wrex 2712   E!wreu 2713    C_ wss 3306
This theorem is referenced by:  reuss  3607  reuun1  3608  riotass2  6606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-in 3313  df-ss 3320
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