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Theorem reusv1 4550
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). (Contributed by NM, 16-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv1  |-  ( E. y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    B( y)    C( y)

Proof of Theorem reusv1
StepHypRef Expression
1 nfra1 2606 . . . 4  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )
21nfmo 2173 . . 3  |-  F/ y E* x A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )
3 rsp 2616 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
43imp3a 420 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  ( (
y  e.  B  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
54com12 27 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  x  =  C ) )
65alrimiv 1621 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  A. x
( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  x  =  C )
)
7 moeq 2954 . . . . 5  |-  E* x  x  =  C
8 moim 2202 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  x  =  C )  ->  ( E* x  x  =  C  ->  E* x A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
96, 7, 8ee10 1366 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E* x A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) )
109ex 423 . . 3  |-  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  E* x A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
112, 10rexlimi 2673 . 2  |-  ( E. y  e.  B  ph  ->  E* x A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) )
12 mormo 2765 . 2  |-  ( E* x A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  E* x  e.  A A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) )
13 reu5 2766 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  <->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  /\  E* x  e.  A A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
1413rbaib 873 . 2  |-  ( E* x  e.  A A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
1511, 12, 143syl 18 1  |-  ( E. y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   E*wmo 2157   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   E*wrmo 2559
This theorem is referenced by:  reusv5OLD  4560  cdleme25c  31166  cdleme29c  31187  cdlemefrs29cpre1  31209  cdlemk29-3  31722  cdlemkid5  31746  dihlsscpre  32046  mapdh9a  32602  mapdh9aOLDN  32603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-v 2803
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