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Theorem reusv2 4540
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ) that is constant for those  y  e.  B such that  ph. The first antecedent ensures that the constant value belongs to the existential uniqueness domain  A, and the second ensures that  C ( y ) is evaluated for at least one  y. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ph  ->  C  e.  A )  /\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( y)    C( y)

Proof of Theorem reusv2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfrab1 2720 . . . 4  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ph }
2 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ z { y  e.  B  |  ph }
3 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ z  C  e.  A
4 nfcsb1v 3113 . . . . 5  |-  F/_ y [_ z  /  y ]_ C
54nfel1 2429 . . . 4  |-  F/ y
[_ z  /  y ]_ C  e.  A
6 csbeq1a 3089 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  C  =  [_ z  /  y ]_ C )
76eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( C  e.  A  <->  [_ z  / 
y ]_ C  e.  A
) )
81, 2, 3, 5, 7cbvralf 2758 . . 3  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ph } C  e.  A  <->  A. z  e.  { y  e.  B  |  ph } [_ z  /  y ]_ C  e.  A )
9 rabid 2716 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  <->  ( y  e.  B  /\  ph ) )
109imbi1i 315 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  C  e.  A
)  <->  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  C  e.  A
) )
11 impexp 433 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  C  e.  A )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  C  e.  A ) ) )
1210, 11bitri 240 . . . 4  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  C  e.  A
)  <->  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  C  e.  A ) ) )
1312ralbii2 2571 . . 3  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ph } C  e.  A  <->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  e.  A ) )
148, 13bitr3i 242 . 2  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ph } [_ z  /  y ]_ C  e.  A  <->  A. y  e.  B  (
ph  ->  C  e.  A
) )
15 rabn0 3474 . 2  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  B  ph )
16 reusv2lem5 4539 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  |  ph } [_ z  / 
y ]_ C  e.  A  /\  { y  e.  B  |  ph }  =/=  (/) )  -> 
( E! x  e.  A  E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ph } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  E! x  e.  A  A. z  e.  { y  e.  B  |  ph } x  =  [_ z  /  y ]_ C
) )
17 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ z  x  =  C
184nfeq2 2430 . . . . . 6  |-  F/ y  x  =  [_ z  /  y ]_ C
196eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ z  /  y ]_ C ) )
201, 2, 17, 18, 19cbvrexf 2759 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  ph } x  =  C  <->  E. z  e.  { y  e.  B  |  ph } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
219anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  /\  x  =  C )  <->  ( ( y  e.  B  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
22 anass 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
2321, 22bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  /\  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
2423rexbii2 2572 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  ph } x  =  C  <->  E. y  e.  B  (
ph  /\  x  =  C ) )
2520, 24bitr3i 242 . . . 4  |-  ( E. z  e.  { y  e.  B  |  ph } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E. y  e.  B  (
ph  /\  x  =  C ) )
2625reubii 2726 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. z  e.  { y  e.  B  |  ph }
x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) )
271, 2, 17, 18, 19cbvralf 2758 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ph }
x  =  C  <->  A. z  e.  { y  e.  B  |  ph } x  = 
[_ z  /  y ]_ C )
289imbi1i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  x  =  C )  <->  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
29 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
3028, 29bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
3130ralbii2 2571 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ph }
x  =  C  <->  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) )
3227, 31bitr3i 242 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ph }
x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  A. y  e.  B  (
ph  ->  x  =  C ) )
3332reubii 2726 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  A. z  e.  { y  e.  B  |  ph }
x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) )
3416, 26, 333bitr3g 278 . 2  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  |  ph } [_ z  / 
y ]_ C  e.  A  /\  { y  e.  B  |  ph }  =/=  (/) )  -> 
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
3514, 15, 34syl2anbr 466 1  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ph  ->  C  e.  A )  /\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547   [_csb 3081   (/)c0 3455
This theorem is referenced by:  cdleme25dN  30545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149  ax-pow 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-nul 3456
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