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Theorem reusv2lem2 4725
Description: Lemma for reusv2 4729. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem2  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eunex 4392 . . . . 5  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B )
2 exnal 1583 . . . . 5  |-  ( E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B 
<->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
31, 2sylib 189 . . . 4  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
4 rzal 3729 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
54alrimiv 1641 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
63, 5nsyl3 113 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
76pm2.21d 100 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
8 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
9 euex 2304 . . . . . . 7  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x A. y  e.  A  x  =  B )
10 eqeq1 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  B  <->  z  =  B ) )
1110ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  z  =  B ) )
1211cbvexv 1985 . . . . . . 7  |-  ( E. x A. y  e.  A  x  =  B  <->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
139, 12sylib 189 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
14 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  A  =/=  (/)
15 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. y  e.  A  z  =  B
1614, 15nfan 1846 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )
17 nfra1 2756 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  =  B
18 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  B )
19 rsp 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( y  e.  A  ->  z  =  B ) )
2019imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. y  e.  A  z  =  B  /\  y  e.  A )  ->  z  =  B )
2120ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  z  =  B )
2218, 21eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  z )
23 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  z  =  B )
2423, 11syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  ( x  =  z  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
2522, 24mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
2625exp32 589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
) )
2716, 17, 26rexlimd 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
28 r19.2z 3717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
2928ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
3127, 30impbid 184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
3231eubidv 2289 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
3332ex 424 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3433exlimdv 1646 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3513, 34syl5 30 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3635imp 419 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
378, 36mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
3837ex 424 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
397, 38pm2.61ine 2680 1  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2281    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   (/)c0 3628
This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-nul 4338  ax-pow 4377
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-v 2958  df-dif 3323  df-nul 3629
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