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Theorem reusv2lem3 4553
Description: Lemma for reusv2 4556. (Contributed by NM, 14-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reusv2lem3
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
2 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ x A. y  e.  A  B  e.  _V
3 nfeu1 2166 . . . . . 6  |-  F/ x E! x E. y  e.  A  x  =  B
42, 3nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ x
( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
5 euex 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x E. y  e.  A  x  =  B )
6 rexn0 3569 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A  =/=  (/) )
76exlimiv 1624 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y  e.  A  x  =  B  ->  A  =/=  (/) )
85, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  ->  A  =/=  (/) )
98adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  A  =/=  (/) )
10 r19.2z 3556 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
1110ex 423 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
129, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
)
13 nfra1 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  A  B  e.  _V
14 nfre1 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. y  e.  A  x  =  B
1514nfeu 2172 . . . . . . . 8  |-  F/ y E! x E. y  e.  A  x  =  B
1613, 15nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ y ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
17 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
19 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( y  e.  A  ->  B  e. 
_V ) )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( y  e.  A  ->  B  e.  _V )
)
2120imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  B  e.  _V )
22 isset 2805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  <->  E. x  x  =  B )
2321, 22sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  E. x  x  =  B )
24 rspe 2617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
2524ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
)
2625ancrd 537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  B  -> 
( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B ) ) )
2726eximdv 1612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. x  x  =  B  ->  E. x ( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B ) ) )
2818, 23, 27sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  E. x
( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B ) )
29 eupick 2219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  /\  E. x ( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B )
)  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  x  =  B ) )
3017, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  x  =  B ) )
3130ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( y  e.  A  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  x  =  B ) ) )
3231com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  B ) ) )
3316, 14, 32ralrimd 2644 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
)
3412, 33impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  <->  E. y  e.  A  x  =  B )
)
354, 34eubid 2163 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
361, 35mpbird 223 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
3736ex 423 . 2  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
38 reusv2lem2 4552 . 2  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
3937, 38impbid1 194 1  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   (/)c0 3468
This theorem is referenced by:  reusv2lem4  4554  eusv4  4559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-nul 3469
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