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Theorem reusv2lem5 4730
Description: Lemma for reusv2 4731. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem5  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem5
StepHypRef Expression
1 tru 1331 . . . . . . . . 9  |-  T.
2 biimt 327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  ( x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) ) )
31, 2mpan2 654 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) ) )
4 ibar 492 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
53, 4bitr3d 248 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <-> 
( C  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
6 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76pm5.32ri 621 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
85, 7syl6bbr 256 . . . . . 6  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
98ralimi 2783 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( (
( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
10 ralbi 2844 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  (
( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =  C
) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
1211eubidv 2291 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
13 r19.28zv 3725 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1413eubidv 2291 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1512, 14sylan9bb 682 . 2  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
161biantrur 494 . . . . 5  |-  ( x  =  C  <->  (  T.  /\  x  =  C ) )
1716rexbii 2732 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  (  T.  /\  x  =  C ) )
1817reubii 2896 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  (  T.  /\  x  =  C ) )
19 reusv2lem4 4729 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  (  T.  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) )
2018, 19bitri 242 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) )
21 df-reu 2714 . 2  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2215, 20, 213bitr4g 281 1  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   (/)c0 3630
This theorem is referenced by:  reusv2  4731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4340  ax-pow 4379
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-nul 3631
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