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Theorem reusv2lem5 4555
Description: Lemma for reusv2 4556. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem5  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem5
StepHypRef Expression
1 tru 1312 . . . . . . . . 9  |-  T.
2 biimt 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  ( x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) ) )
31, 2mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) ) )
4 ibar 490 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
53, 4bitr3d 246 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <-> 
( C  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
6 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76pm5.32ri 619 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
85, 7syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
98ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( (
( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
10 ralbi 2692 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  (
( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =  C
) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
1211eubidv 2164 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
13 r19.28zv 3562 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1413eubidv 2164 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1512, 14sylan9bb 680 . 2  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
161biantrur 492 . . . . 5  |-  ( x  =  C  <->  (  T.  /\  x  =  C ) )
1716rexbii 2581 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  (  T.  /\  x  =  C ) )
1817reubii 2739 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  (  T.  /\  x  =  C ) )
19 reusv2lem4 4554 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  (  T.  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) )
2018, 19bitri 240 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  T.  )  ->  x  =  C ) )
21 df-reu 2563 . 2  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2215, 20, 213bitr4g 279 1  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   (/)c0 3468
This theorem is referenced by:  reusv2  4556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-nul 3469
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