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Theorem reusv6OLD 4545
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). The converse does not hold. Note that  U. A  =  |^| A means  A is a singleton (uniintsn 3899). (Contributed by NM, 30-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
reusv6OLD  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv6OLD
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2736 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
21reubidv 2724 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
3 df-reu 2550 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
4 uniintsn 3899 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
5 eusn 3703 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E. x  A  =  {
x } )
6 ral0 3558 . . . . . . . . . 10  |-  A. y  e.  (/)  x  =  C
76biantru 491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
87eubii 2152 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
94, 5, 83bitr2i 264 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E! x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
103, 9bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A )
112, 10syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A ) )
1211necon3bbid 2480 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =/=  |^| A ) )
13 pm2.21 100 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
1412, 13syl6bir 220 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) ) )
15 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  B  =/=  (/)
16 nfrab1 2720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }
1716nfeq1 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }
1815, 17nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )
19 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  B  =/=  (/)
20 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y A. y  e.  B  x  =  C
21 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y A
2220, 21nfrab 2721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }
2322nfeq1 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }
24 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  e.  A
2519, 23, 24nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )
26 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  x  e.  { z }
27 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
2827snid 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
{ z }
29 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )
3028, 29syl5eleqr 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C } )
31 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  C  <->  z  =  C ) )
3231ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  B  z  =  C ) )
3332elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  <->  ( z  e.  A  /\  A. y  e.  B  z  =  C ) )
3433simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  ->  A. y  e.  B  z  =  C )
3530, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  B  z  =  C )
3635r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  z  =  C )
3736eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  z  <->  x  =  C
) )
3837biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  C  ->  x  =  z ) )
39 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { z }  <-> 
x  =  z )
4038, 39syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  C  ->  x  e. 
{ z } ) )
4140ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  =  C  ->  x  e.  {
z } ) ) )
4225, 26, 41rexlimd 2664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e.  {
z } ) )
43423expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e. 
{ z } ) ) )
4418, 43ralrimi 2624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e.  { z } ) )
45 rabss 3250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  C_ 
{ z }  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e. 
{ z } ) )
4644, 45sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  C_  { z } )
47 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
4846, 47sseqtr4d 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  C_  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C } )
49 r19.2z 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  A. y  e.  B  x  =  C )  ->  E. y  e.  B  x  =  C )
5049ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  ->  E. y  e.  B  x  =  C ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  ->  E. y  e.  B  x  =  C ) )
5251ss2rabdv 3254 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  C_  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C } )
5352adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  C_  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C } )
5448, 53eqssd 3196 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }
)
5554, 47eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
5655ex 423 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } ) )
5756eximdv 1608 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E. z { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  ->  E. z { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } ) )
58 reusn 3700 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E. z { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
59 reusn 3700 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. z { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
6057, 58, 593imtr4g 261 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
6160a1d 22 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) ) )
6214, 61pm2.61ine 2522 . 2  |-  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
6362, 60jaoi 368 1  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   |^|cint 3862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-int 3863
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