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Theorem reusv7OLD 4562
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). Note that  U. A  =  |^| A means  A is a singleton (uniintsn 3915). (Contributed by NM, 14-Dec-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reusv7.1  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
Assertion
Ref Expression
reusv7OLD  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv7OLD
StepHypRef Expression
1 raleq 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
21reubidv 2737 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
3 df-reu 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
4 uniintsn 3915 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
5 eusn 3716 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E. x  A  =  {
x } )
6 ral0 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  (/)  x  =  C
76biantru 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
87eubii 2165 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
94, 5, 83bitr2i 264 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E! x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
103, 9bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A )
112, 10syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A ) )
1211necon3bbid 2493 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =/=  |^| A ) )
1312biimprd 214 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
14 reurex 2767 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
15 rexn0 3569 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2676 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1714, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1817necon2bi 2505 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
1913, 18jctild 527 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
) )
20 pm5.21 831 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2119, 20syl6 29 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
22 r19.28zv 3562 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
2322eubidv 2164 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
24 reusv2lem4 4554 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  (
y  =  y  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
)
25 equid 1662 . . . . . . . . 9  |-  y  =  y
2625biantrur 492 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  <->  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2726rexbii 2581 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2827reubii 2739 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
29 reusv7.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
3029biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
31 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
3231pm5.32ri 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
3330, 32syl6rbbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  x  =  C
) )
34 biimt 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3529, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3633, 35bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3725biantru 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  <->  ( C  e.  A  /\  y  =  y ) )
3837imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  ->  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
3936, 38syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
) )
4039ralbiia 2588 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
4140eubii 2165 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C ) )
4224, 28, 413bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) )
43 df-reu 2563 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4423, 42, 433bitr4g 279 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
4544a1d 22 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
4621, 45pm2.61ine 2535 . 2  |-  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4746, 44jaoi 368 1  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   |^|cint 3878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844  df-int 3879
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