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Theorem reusv7OLD 4727
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). Note that  U. A  =  |^| A means  A is a singleton (uniintsn 4079). (Contributed by NM, 14-Dec-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reusv7.1  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
Assertion
Ref Expression
reusv7OLD  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv7OLD
StepHypRef Expression
1 raleq 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
21reubidv 2884 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
3 df-reu 2704 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
4 uniintsn 4079 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
5 eusn 3872 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E. x  A  =  {
x } )
6 ral0 3724 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  (/)  x  =  C
76biantru 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
87eubii 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
94, 5, 83bitr2i 265 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E! x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
103, 9bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A )
112, 10syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A ) )
1211necon3bbid 2632 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =/=  |^| A ) )
1312biimprd 215 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
14 reurex 2914 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
15 rexn0 3722 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2818 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1817necon2bi 2644 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
1913, 18jctild 528 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
) )
20 pm5.21 832 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2119, 20syl6 31 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
22 r19.28zv 3715 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
2322eubidv 2288 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
24 reusv2lem4 4719 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  (
y  =  y  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
)
25 equid 1688 . . . . . . . . 9  |-  y  =  y
2625biantrur 493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  <->  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2726rexbii 2722 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2827reubii 2886 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
29 reusv7.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
3029biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
31 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
3231pm5.32ri 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
3330, 32syl6rbbr 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  x  =  C
) )
34 biimt 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3633, 35bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3725biantru 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  <->  ( C  e.  A  /\  y  =  y ) )
3837imbi1i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  ->  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
3936, 38syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
) )
4039ralbiia 2729 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
4140eubii 2289 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C ) )
4224, 28, 413bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) )
43 df-reu 2704 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4423, 42, 433bitr4g 280 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
4544a1d 23 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
4621, 45pm2.61ine 2674 . 2  |-  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4746, 44jaoi 369 1  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2280    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007   |^|cint 4042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330  ax-pow 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-sn 3812  df-pr 3813  df-uni 4008  df-int 4043
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