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Theorem reusv7OLD 4546
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). Note that  U. A  =  |^| A means  A is a singleton (uniintsn 3899). (Contributed by NM, 14-Dec-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reusv7.1  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
Assertion
Ref Expression
reusv7OLD  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv7OLD
StepHypRef Expression
1 raleq 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
21reubidv 2724 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
3 df-reu 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
4 uniintsn 3899 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
5 eusn 3703 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E. x  A  =  {
x } )
6 ral0 3558 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  (/)  x  =  C
76biantru 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
87eubii 2152 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
94, 5, 83bitr2i 264 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E! x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
103, 9bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A )
112, 10syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A ) )
1211necon3bbid 2480 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =/=  |^| A ) )
1312biimprd 214 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
14 reurex 2754 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
15 rexn0 3556 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2663 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1714, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1817necon2bi 2492 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
1913, 18jctild 527 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
) )
20 pm5.21 831 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2119, 20syl6 29 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
22 r19.28zv 3549 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
2322eubidv 2151 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
24 reusv2lem4 4538 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  (
y  =  y  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
)
25 equid 1644 . . . . . . . . 9  |-  y  =  y
2625biantrur 492 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  <->  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2726rexbii 2568 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2827reubii 2726 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
29 reusv7.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
3029biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
31 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
3231pm5.32ri 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
3330, 32syl6rbbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  x  =  C
) )
34 biimt 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3529, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3633, 35bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3725biantru 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  <->  ( C  e.  A  /\  y  =  y ) )
3837imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  ->  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
3936, 38syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
) )
4039ralbiia 2575 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
4140eubii 2152 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C ) )
4224, 28, 413bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) )
43 df-reu 2550 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4423, 42, 433bitr4g 279 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
4544a1d 22 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
4621, 45pm2.61ine 2522 . 2  |-  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4746, 44jaoi 368 1  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   |^|cint 3862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149  ax-pow 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-int 3863
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