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Theorem revccat 11798
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )

Proof of Theorem revccat
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 11743 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( S concat  T )  e. Word  A )
2 revcl 11793 . . . . 5  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
4 wrdf 11733 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A  -> 
(reverse `  ( S concat  T
) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A )
5 ffn 5591 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
63, 4, 53syl 19 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
7 revlen 11794 . . . . . . 7  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
9 ccatlen 11744 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
10 lencl 11735 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
1110nn0cnd 10276 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
12 lencl 11735 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 10276 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
14 addcom 9252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  CC  /\  ( # `  T )  e.  CC )  -> 
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1511, 13, 14syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
169, 15eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
178, 16eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1817oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
1918fneq2d 5537 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  <-> 
(reverse `  ( S concat  T
) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
206, 19mpbid 202 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
21 revcl 11793 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  (reverse `  T )  e. Word  A
)
22 revcl 11793 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  A  ->  (reverse `  S )  e. Word  A
)
23 ccatcl 11743 . . . . 5  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
2421, 22, 23syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
25 wrdf 11733 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) )  e. Word  A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) : ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) --> A )
26 ffn 5591 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) : ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) ) --> A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
2724, 25, 263syl 19 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
28 ccatlen 11744 . . . . . . 7  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
2921, 22, 28syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
30 revlen 11794 . . . . . . 7  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
31 revlen 11794 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  S
) )  =  (
# `  S )
)
3230, 31oveqan12rd 6101 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3329, 32eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3433oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) ) )
3534fneq2d 5537 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) )  <->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
3627, 35mpbid 202 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
37 id 20 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
3812nn0zd 10373 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
3938adantl 453 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
40 fzospliti 11165 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
4137, 39, 40syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  \/  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
42 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  S  e. Word  A )
43 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  T  e. Word  A )
44 fzoval 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
4645eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  x  e.  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) ) )
4746biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
48 fznn0sub2 11086 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) ) )
5045adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
5149, 50eleqtrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
52 ccatval3 11747 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  (
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5342, 43, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5416oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )
5513adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
5611adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
57 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  1  e.  CC )
5955, 56, 58addsubd 9432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6054, 59eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6160oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
6261adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
63 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  e.  ZZ )
6438, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  ZZ )
6564zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  CC )
6665ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( # `  T
)  -  1 )  e.  CC )
6711ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( # `  S )  e.  CC )
68 elfzoelz 11140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  ZZ )
6968zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  CC )
7069adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  CC )
7166, 67, 70addsubd 9432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
)  =  ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )
7262, 71eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  -  x )  +  (
# `  S )
) )
7372fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) ) )
74 revfv 11795 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7574adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7653, 73, 753eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
771adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
78 uzid 10500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
7939, 78syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8010adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
81 uzaddcl 10533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) )  /\  ( # `  S )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8279, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
8316, 82eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
84 fzoss2 11163 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( S concat  T ) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  T
) )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  C_  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8685sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
87 revfv 11795 . . . . . 6  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8877, 86, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8921ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
9022ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
9130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  T ) )  =  ( # `  T
) )
9291oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T )
) )  =  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
9392eleq2d 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) )  <-> 
x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) ) )
9493biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )
95 ccatval1 11745 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
9689, 90, 94, 95syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  T
) `  x )
)
9776, 88, 963eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
989oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  - 
1 ) )
9956, 55, 58addsubd 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
10098, 99eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
101100oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
102101adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
10310nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
104 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  - 
1 )  e.  ZZ )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  ZZ )
106105zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  CC )
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( # `  S
)  -  1 )  e.  CC )
108 elfzoelz 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
109108zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  CC )
110109adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  CC )
11113ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  T )  e.  CC )
112107, 110, 111subsub3d 9441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
113102, 112eqtr4d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) ) )
11491oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
115114oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
116115adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
117113, 116eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
118117fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S `  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T
) ) ) ) ) )
119 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  S  e. Word  A )
120 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  T  e. Word  A )
121 zaddcl 10317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( # `  S )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
12238, 103, 121syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
123 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  e.  ZZ )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
125124adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
126 fzoval 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( # `  T ) ... (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) )
127122, 126syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  =  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )
128127eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  <->  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) ) )
129128biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T ) ... ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 ) ) )
130 fzrev2i 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
131125, 129, 130syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
13254oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
133132adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
134103adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
135 fzoval 11141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  S
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  S )  -  1 ) ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( 0 ... (
( # `  S )  -  1 ) ) )
137124zcnd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  CC )
138137subidd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )  =  0 )
139 addcl 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
14013, 11, 139syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
141140, 58, 55sub32d 9443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 ) )
142 pncan2 9312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
14313, 11, 142syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
144143oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
145141, 144eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
146138, 145oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  S
)  -  1 ) ) )
147136, 146eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
148147adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
149131, 133, 1483eltr4d 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
150 ccatval1 11745 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
)  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
151119, 120, 149, 150syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
15230ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
153152oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
154 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
155 fzosubel3 11179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  T ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
156154, 134, 155syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 T ) )  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) )
157153, 156eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
158 revfv 11795 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
159119, 157, 158syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
160118, 151, 1593eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
1611adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
16212adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  NN0 )
163 fzoss1 11162 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  T )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
164 nn0uz 10520 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
165163, 164eleq2s 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  T )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
166162, 165syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
16716oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
168166, 167sseqtr4d 3385 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
169168sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
170161, 169, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
17121ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
17222ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
17391, 32oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  =  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
174173eleq2d 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  <->  x  e.  (
( # `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
175174biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )
176 ccatval2 11746 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
177171, 172, 175, 176syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
178160, 170, 1773eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
17997, 178jaodan 761 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )  ->  (
(reverse `  ( S concat  T
) ) `  x
)  =  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x ) )
18041, 179syldan 457 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
18120, 36, 180eqfnfvd 5830 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    - cmin 9291   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043  ..^cfzo 11135   #chash 11618  Word cword 11717   concat cconcat 11718  reversecreverse 11722
This theorem is referenced by:  gsumwrev  15162  efginvrel2  15359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-reverse 11728
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