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Theorem revccat 11484
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )

Proof of Theorem revccat
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 11429 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( S concat  T )  e. Word  A )
2 revcl 11479 . . . . 5  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
4 wrdf 11419 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A  -> 
(reverse `  ( S concat  T
) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A )
5 ffn 5389 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
63, 4, 53syl 18 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
7 revlen 11480 . . . . . . 7  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
81, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
9 ccatlen 11430 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
10 lencl 11421 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
1110nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
12 lencl 11421 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
14 addcom 8998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  CC  /\  ( # `  T )  e.  CC )  -> 
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1511, 13, 14syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
169, 15eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
178, 16eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1817oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
1918fneq2d 5336 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  <-> 
(reverse `  ( S concat  T
) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
206, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
21 revcl 11479 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  (reverse `  T )  e. Word  A
)
22 revcl 11479 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  A  ->  (reverse `  S )  e. Word  A
)
23 ccatcl 11429 . . . . 5  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
2421, 22, 23syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
25 wrdf 11419 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) )  e. Word  A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) : ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) --> A )
26 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) : ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) ) --> A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
2724, 25, 263syl 18 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
28 ccatlen 11430 . . . . . . 7  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
2921, 22, 28syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
30 revlen 11480 . . . . . . 7  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
31 revlen 11480 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  S
) )  =  (
# `  S )
)
3230, 31oveqan12rd 5878 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3329, 32eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3433oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) ) )
3534fneq2d 5336 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) )  <->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
3627, 35mpbid 201 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
37 id 19 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
3812nn0zd 10115 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
3938adantl 452 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
40 fzospliti 10898 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
4137, 39, 40syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  \/  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
42 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  S  e. Word  A )
43 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  T  e. Word  A )
44 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4539, 44syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
4645eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  x  e.  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) ) )
4746biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
48 fznn0sub2 10825 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) ) )
5045adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
5149, 50eleqtrrd 2360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
52 ccatval3 11433 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  (
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5342, 43, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5416oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )
5513adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
5611adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
57 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  1  e.  CC )
5955, 56, 58addsubd 9178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6054, 59eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6160oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
6261adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
63 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  e.  ZZ )
6438, 63syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  ZZ )
6564zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  CC )
6665ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( # `  T
)  -  1 )  e.  CC )
6711ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( # `  S )  e.  CC )
68 elfzoelz 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  ZZ )
6968zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  CC )
7069adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  CC )
7166, 67, 70addsubd 9178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
)  =  ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )
7262, 71eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  -  x )  +  (
# `  S )
) )
7372fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) ) )
74 revfv 11481 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7574adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7653, 73, 753eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
771adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
78 uzid 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
7939, 78syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8010adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
81 uzaddcl 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) )  /\  ( # `  S )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8279, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
8316, 82eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
84 fzoss2 10897 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( S concat  T ) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  T
) )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  C_  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8685sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
87 revfv 11481 . . . . . 6  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8877, 86, 87syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8921ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
9022ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
9130adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  T ) )  =  ( # `  T
) )
9291oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T )
) )  =  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
9392eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) )  <-> 
x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) ) )
9493biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )
95 ccatval1 11431 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
9689, 90, 94, 95syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  T
) `  x )
)
9776, 88, 963eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
989oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  - 
1 ) )
9956, 55, 58addsubd 9178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
10098, 99eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
101100oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
102101adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
10310nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
104 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  - 
1 )  e.  ZZ )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  ZZ )
106105zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  CC )
107106ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( # `  S
)  -  1 )  e.  CC )
108 elfzoelz 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
109108zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  CC )
110109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  CC )
11113ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  T )  e.  CC )
112107, 110, 111subsub3d 9187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
113102, 112eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) ) )
11491oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
115114oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
116115adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
117113, 116eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
118117fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S `  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T
) ) ) ) ) )
119 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  S  e. Word  A )
120 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  T  e. Word  A )
12154oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
122121adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
123 zaddcl 10059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( # `  S )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
12438, 103, 123syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
125 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  e.  ZZ )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
127126adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
128 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( # `  T ) ... (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) )
129124, 128syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  =  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )
130129eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  <->  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) ) )
131130biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T ) ... ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 ) ) )
132 fzrev2i 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
133127, 131, 132syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
134103adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
135 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  S
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  S )  -  1 ) ) )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( 0 ... (
( # `  S )  -  1 ) ) )
137126zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  CC )
138137subidd 9145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )  =  0 )
139 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
14013, 11, 139syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
141140, 58, 55sub32d 9189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 ) )
142 pncan2 9058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
14313, 11, 142syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
144143oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
145141, 144eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
146138, 145oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  S
)  -  1 ) ) )
147136, 146eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
148147adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
149133, 148eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) )
150122, 149eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
151 ccatval1 11431 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
)  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
152119, 120, 150, 151syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
15330ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
154153oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
155 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
156 fzosubel3 10910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  T ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
157155, 134, 156syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 T ) )  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) )
158154, 157eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
159 revfv 11481 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
160119, 158, 159syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
161118, 152, 1603eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
1621adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
16312adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  NN0 )
164 fzoss1 10896 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  T )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
165 nn0uz 10262 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
166164, 165eleq2s 2375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  T )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
167163, 166syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
16816oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
169167, 168sseqtr4d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
170169sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
171162, 170, 87syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
17221ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
17322ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
17491, 32oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  =  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
175174eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  <->  x  e.  (
( # `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
176175biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )
177 ccatval2 11432 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
178172, 173, 176, 177syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
179161, 171, 1783eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
18097, 179jaodan 760 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )  ->  (
(reverse `  ( S concat  T
) ) `  x
)  =  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x ) )
18141, 180syldan 456 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
18220, 36, 181eqfnfvd 5625 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   concat cconcat 11404  reversecreverse 11408
This theorem is referenced by:  gsumwrev  14839  efginvrel2  15036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-reverse 11414
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