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Theorem revccat 11761
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )

Proof of Theorem revccat
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 11706 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( S concat  T )  e. Word  A )
2 revcl 11756 . . . . 5  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
4 wrdf 11696 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A  -> 
(reverse `  ( S concat  T
) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A )
5 ffn 5558 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
63, 4, 53syl 19 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
7 revlen 11757 . . . . . . 7  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
9 ccatlen 11707 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
10 lencl 11698 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
1110nn0cnd 10240 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
12 lencl 11698 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 10240 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
14 addcom 9216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  CC  /\  ( # `  T )  e.  CC )  -> 
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1511, 13, 14syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
169, 15eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
178, 16eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1817oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
1918fneq2d 5504 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  <-> 
(reverse `  ( S concat  T
) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
206, 19mpbid 202 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
21 revcl 11756 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  (reverse `  T )  e. Word  A
)
22 revcl 11756 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  A  ->  (reverse `  S )  e. Word  A
)
23 ccatcl 11706 . . . . 5  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
2421, 22, 23syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
25 wrdf 11696 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) )  e. Word  A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) : ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) --> A )
26 ffn 5558 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) : ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) ) --> A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
2724, 25, 263syl 19 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
28 ccatlen 11707 . . . . . . 7  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
2921, 22, 28syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
30 revlen 11757 . . . . . . 7  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
31 revlen 11757 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  S
) )  =  (
# `  S )
)
3230, 31oveqan12rd 6068 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3329, 32eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3433oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) ) )
3534fneq2d 5504 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) )  <->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
3627, 35mpbid 202 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
37 id 20 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
3812nn0zd 10337 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
3938adantl 453 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
40 fzospliti 11128 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
4137, 39, 40syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  \/  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
42 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  S  e. Word  A )
43 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  T  e. Word  A )
44 fzoval 11104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
4645eleq2d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  x  e.  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) ) )
4746biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
48 fznn0sub2 11050 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) ) )
5045adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
5149, 50eleqtrrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
52 ccatval3 11710 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  (
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5342, 43, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5416oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )
5513adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
5611adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
57 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  1  e.  CC )
5955, 56, 58addsubd 9396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6054, 59eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6160oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
6261adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
63 peano2zm 10284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  e.  ZZ )
6438, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  ZZ )
6564zcnd 10340 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  CC )
6665ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( # `  T
)  -  1 )  e.  CC )
6711ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( # `  S )  e.  CC )
68 elfzoelz 11103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  ZZ )
6968zcnd 10340 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  CC )
7069adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  CC )
7166, 67, 70addsubd 9396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
)  =  ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )
7262, 71eqtrd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  -  x )  +  (
# `  S )
) )
7372fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) ) )
74 revfv 11758 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7574adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7653, 73, 753eqtr4d 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
771adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
78 uzid 10464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
7939, 78syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8010adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
81 uzaddcl 10497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) )  /\  ( # `  S )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8279, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
8316, 82eqeltrd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
84 fzoss2 11126 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( S concat  T ) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  T
) )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  C_  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8685sselda 3316 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
87 revfv 11758 . . . . . 6  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8877, 86, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8921ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
9022ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
9130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  T ) )  =  ( # `  T
) )
9291oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T )
) )  =  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
9392eleq2d 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) )  <-> 
x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) ) )
9493biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )
95 ccatval1 11708 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
9689, 90, 94, 95syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  T
) `  x )
)
9776, 88, 963eqtr4d 2454 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
989oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  - 
1 ) )
9956, 55, 58addsubd 9396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
10098, 99eqtrd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
101100oveq1d 6063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
102101adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
10310nn0zd 10337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
104 peano2zm 10284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  - 
1 )  e.  ZZ )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  ZZ )
106105zcnd 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  CC )
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( # `  S
)  -  1 )  e.  CC )
108 elfzoelz 11103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
109108zcnd 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  CC )
110109adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  CC )
11113ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  T )  e.  CC )
112107, 110, 111subsub3d 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
113102, 112eqtr4d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) ) )
11491oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
115114oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
116115adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
117113, 116eqtr4d 2447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
118117fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S `  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T
) ) ) ) ) )
119 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  S  e. Word  A )
120 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  T  e. Word  A )
121 zaddcl 10281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( # `  S )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
12238, 103, 121syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
123 peano2zm 10284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  e.  ZZ )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
125124adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
126 fzoval 11104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( # `  T ) ... (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) )
127122, 126syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  =  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )
128127eleq2d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  <->  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) ) )
129128biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T ) ... ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 ) ) )
130 fzrev2i 11074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
131125, 129, 130syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
13254oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
133132adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
134103adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
135 fzoval 11104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  S
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  S )  -  1 ) ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( 0 ... (
( # `  S )  -  1 ) ) )
137124zcnd 10340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  CC )
138137subidd 9363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )  =  0 )
139 addcl 9036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
14013, 11, 139syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
141140, 58, 55sub32d 9407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 ) )
142 pncan2 9276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
14313, 11, 142syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
144143oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
145141, 144eqtrd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
146138, 145oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  S
)  -  1 ) ) )
147136, 146eqtr4d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
148147adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
149131, 133, 1483eltr4d 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
150 ccatval1 11708 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
)  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
151119, 120, 149, 150syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
15230ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
153152oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
154 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
155 fzosubel3 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  T ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
156154, 134, 155syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 T ) )  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) )
157153, 156eqeltrd 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
158 revfv 11758 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
159119, 157, 158syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
160118, 151, 1593eqtr4d 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
1611adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
16212adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  NN0 )
163 fzoss1 11125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  T )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
164 nn0uz 10484 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
165163, 164eleq2s 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  T )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
166162, 165syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
16716oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
168166, 167sseqtr4d 3353 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
169168sselda 3316 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
170161, 169, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
17121ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
17222ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
17391, 32oveq12d 6066 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  =  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
174173eleq2d 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  <->  x  e.  (
( # `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
175174biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )
176 ccatval2 11709 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
177171, 172, 175, 176syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
178160, 170, 1773eqtr4d 2454 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
17997, 178jaodan 761 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )  ->  (
(reverse `  ( S concat  T
) ) `  x
)  =  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x ) )
18041, 179syldan 457 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
18120, 36, 180eqfnfvd 5797 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    - cmin 9255   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007  ..^cfzo 11098   #chash 11581  Word cword 11680   concat cconcat 11681  reversecreverse 11685
This theorem is referenced by:  gsumwrev  15125  efginvrel2  15322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-hash 11582  df-word 11686  df-concat 11687  df-reverse 11691
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