MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexadd Structured version   Unicode version

Theorem rexadd 10810
Description: The extended real addition operation when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexadd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A + e B )  =  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem rexadd
StepHypRef Expression
1 rexr 9122 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9122 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xaddval 10801 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A + e B )  =  if ( A  =  +oo ,  if ( B  =  -oo ,  0 ,  +oo ) ,  if ( A  = 
-oo ,  if ( B  =  +oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A + e B )  =  if ( A  =  +oo ,  if ( B  = 
-oo ,  0 ,  +oo ) ,  if ( A  =  -oo ,  if ( B  =  +oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) ) )
5 renepnf 9124 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  +oo )
6 ifnefalse 3739 . . . . 5  |-  ( A  =/=  +oo  ->  if ( A  =  +oo ,  if ( B  =  -oo ,  0 ,  +oo ) ,  if ( A  = 
-oo ,  if ( B  =  +oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  if ( A  =  -oo ,  if ( B  = 
+oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  +oo ,  if ( B  = 
-oo ,  0 ,  +oo ) ,  if ( A  =  -oo ,  if ( B  =  +oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  if ( A  =  -oo ,  if ( B  = 
+oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) ) ) )
8 renemnf 9125 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )
9 ifnefalse 3739 . . . . 5  |-  ( A  =/=  -oo  ->  if ( A  =  -oo ,  if ( B  =  +oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) ) ) )  =  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  -oo ,  if ( B  = 
+oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) ) )  =  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  if ( B  = 
-oo ,  -oo ,  ( A  +  B ) ) ) )
117, 10eqtrd 2467 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  +oo ,  if ( B  = 
-oo ,  0 ,  +oo ) ,  if ( A  =  -oo ,  if ( B  =  +oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) ) )
12 renepnf 9124 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/=  +oo )
13 ifnefalse 3739 . . . . 5  |-  ( B  =/=  +oo  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) )  =  if ( B  = 
-oo ,  -oo ,  ( A  +  B ) ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) )  =  if ( B  = 
-oo ,  -oo ,  ( A  +  B ) ) )
15 renemnf 9125 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/=  -oo )
16 ifnefalse 3739 . . . . 5  |-  ( B  =/=  -oo  ->  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  B
) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  B
) )
1814, 17eqtrd 2467 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  if ( B  =  -oo ,  -oo ,  ( A  +  B
) ) )  =  ( A  +  B
) )
1911, 18sylan9eq 2487 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  = 
+oo ,  if ( B  =  -oo ,  0 ,  +oo ) ,  if ( A  = 
-oo ,  if ( B  =  +oo ,  0 ,  -oo ) ,  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  if ( B  =  -oo , 
-oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  ( A  +  B ) )
204, 19eqtrd 2467 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A + e B )  =  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ifcif 3731  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111   + ecxad 10700
This theorem is referenced by:  rexsub  10811  xaddnemnf  10812  xaddnepnf  10813  xnegid  10814  xaddcom  10816  xaddid1  10817  xnegdi  10819  xaddass  10820  xpncan  10822  xleadd1a  10824  xadddilem  10865  x2times  10870  hashunx  11652  isxmet2d  18349  ismet2  18355  mettri2  18363  prdsxmetlem  18390  bl2in  18422  xblss2ps  18423  xmeter  18455  methaus  18542  metustexhalfOLD  18585  metustexhalf  18586  metdcnlem  18859  metnrmlem3  18883  iscau3  19223  vdgrfival  21660  vdgrf  21661  vdgrfif  21662  vdgr0  21663  vdgr1d  21666  vdgr1b  21667  vdgr1a  21669  xlt2addrd  24116  xrsmulgzz  24192  xrge0iifhom  24315  esumfsupre  24453  esumpfinvallem  24456  probun  24669  cntotbnd  26496  heiborlem6  26516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-mulcl 9044  ax-i2m1 9050
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-xadd 10703
  Copyright terms: Public domain W3C validator