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Theorem rexanre 11846
Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexanre  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanre
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
21imim2i 13 . . . . 5  |-  ( ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( j  <_  k  ->  ph ) )
32ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
43reximi 2663 . . 3  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) )
5 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
65imim2i 13 . . . . 5  |-  ( ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( j  <_  k  ->  ps )
)
76ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ps )
)
87reximi 2663 . . 3  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)
94, 8jca 518 . 2  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) )
10 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  (
j  <_  k  <->  x  <_  k ) )
1110imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  (
( j  <_  k  ->  ph )  <->  ( x  <_  k  ->  ph ) ) )
1211ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( j  =  x  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph ) ) )
1312cbvrexv 2778 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph ) )
14 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  y  ->  (
j  <_  k  <->  y  <_  k ) )
1514imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( j  <_  k  ->  ps )  <->  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
1615ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( j  =  y  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ps )  <->  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
1716cbvrexv 2778 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps )  <->  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps ) )
1813, 17anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  <->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  (
y  <_  k  ->  ps ) ) )
19 reeanv 2720 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  <->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  (
y  <_  k  ->  ps ) ) )
2018, 19bitr4i 243 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
21 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR )
2221ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR )
2322adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  if (
x  <_  y , 
y ,  x )  e.  RR )
24 r19.26 2688 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  (
( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  <->  ( A. k  e.  A  (
x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
25 prth 554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  ->  (
( x  <_  k  /\  y  <_  k )  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
26 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  RR )
27 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  y  e.  RR )
28 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  A  C_  RR )
2928sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
30 maxle 10535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k  <->  ( x  <_  k  /\  y  <_ 
k ) ) )
3126, 27, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k  <->  ( x  <_  k  /\  y  <_ 
k ) ) )
3231imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( (
x  <_  k  /\  y  <_  k )  -> 
( ph  /\  ps )
) ) )
3325, 32syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  ( y  <_  k  ->  ps ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
3433ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  ->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3524, 34syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
36 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( j  <_  k  <->  if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k )
)
3736imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3837ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3938rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  A  ( if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
) )
4023, 35, 39ee12an 1353 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
4140rexlimdvva 2687 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
4220, 41syl5bi 208 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
439, 42impbid2 195 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039   RRcr 8752    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  o1lo1  12027  rlimuni  12040  lo1add  12116  lo1mul  12117  rlimno1  12143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
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