Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexanre Structured version   Unicode version

Theorem rexanre 12152
 Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexanre
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem rexanre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . . . 6
21imim2i 14 . . . . 5
32ralimi 2783 . . . 4
43reximi 2815 . . 3
5 simpr 449 . . . . . 6
65imim2i 14 . . . . 5
76ralimi 2783 . . . 4
87reximi 2815 . . 3
94, 8jca 520 . 2
10 breq1 4217 . . . . . . . 8
1110imbi1d 310 . . . . . . 7
1211ralbidv 2727 . . . . . 6
1312cbvrexv 2935 . . . . 5
14 breq1 4217 . . . . . . . 8
1514imbi1d 310 . . . . . . 7
1615ralbidv 2727 . . . . . 6
1716cbvrexv 2935 . . . . 5
1813, 17anbi12i 680 . . . 4
19 reeanv 2877 . . . 4
2018, 19bitr4i 245 . . 3
21 ifcl 3777 . . . . . . 7
2221ancoms 441 . . . . . 6
2322adantl 454 . . . . 5
24 r19.26 2840 . . . . . 6
25 prth 556 . . . . . . . 8
26 simplrl 738 . . . . . . . . . 10
27 simplrr 739 . . . . . . . . . 10
28 simpl 445 . . . . . . . . . . 11
2928sselda 3350 . . . . . . . . . 10
30 maxle 10780 . . . . . . . . . 10
3126, 27, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
3231imbi1d 310 . . . . . . . 8
3325, 32syl5ibr 214 . . . . . . 7
3433ralimdva 2786 . . . . . 6
3524, 34syl5bir 211 . . . . 5
36 breq1 4217 . . . . . . . 8
3736imbi1d 310 . . . . . . 7
3837ralbidv 2727 . . . . . 6
3938rspcev 3054 . . . . 5
4023, 35, 39ee12an 1373 . . . 4
4140rexlimdvva 2839 . . 3
4220, 41syl5bi 210 . 2
439, 42impbid2 197 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  cif 3741   class class class wbr 4214  cr 8991   cle 9123 This theorem is referenced by:  o1lo1  12333  rlimuni  12346  lo1add  12422  lo1mul  12423  rlimno1  12449 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128
 Copyright terms: Public domain W3C validator