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Theorem rexanuz 11925
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Distinct variable groups:    j, k    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2751 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
21rexbii 2644 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
3 r19.40 2767 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
42, 3sylbi 187 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
5 uzf 10325 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5472 . . . 4  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7 raleq 2812 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  x  ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
87rexrn 5750 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 9 . . 3  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
10 raleq 2812 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  y  ps  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1110rexrn 5750 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 9 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
13 uzin2 11924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>= )
14 inss1 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
15 ssralv 3313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  x  ->  ( A. k  e.  x  ph 
->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  x  ph  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph )
17 inss2 3466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
18 ssralv 3313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  y  ->  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps )
2016, 19anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  ( A. k  e.  (
x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ps ) )
21 r19.26 2751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
2220, 21sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ( ph  /\  ps ) )
23 raleq 2812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  ( A. k  e.  z 
( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
) )
2423rspcev 2960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
)  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2513, 22, 24syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  /\  ( A. k  e.  x  ph  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2625an4s 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\ 
A. k  e.  x  ph )  /\  ( y  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2726expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\ 
A. k  e.  x  ph )  /\  y  e. 
ran  ZZ>= )  ->  ( A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  (
ph  /\  ps )
) )
2827rexlimdva 2743 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  x  ph )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2928rexlimiva 2738 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
3029imp 418 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
31 raleq 2812 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
3231rexrn 5750 . . . . 5  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
335, 6, 32mp2b 9 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
3430, 33sylib 188 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
359, 12, 34syl2anbr 466 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) )
364, 35impbii 180 1  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   ran crn 4772    Fn wfn 5332   -->wf 5333   ` cfv 5337   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322
This theorem is referenced by:  rexfiuz  11927  rexuz3  11928  rexanuz2  11929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-neg 9130  df-z 10117  df-uz 10323
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