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Theorem rexanuz 12112
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Distinct variable groups:    j, k    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2806 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
21rexbii 2699 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
3 r19.40 2827 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
42, 3sylbi 188 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
5 uzf 10455 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5558 . . . 4  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7 raleq 2872 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  x  ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
87rexrn 5839 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 10 . . 3  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
10 raleq 2872 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  y  ps  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1110rexrn 5839 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 10 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
13 uzin2 12111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>= )
14 inss1 3529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
15 ssralv 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  x  ->  ( A. k  e.  x  ph 
->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  x  ph  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph )
17 inss2 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
18 ssralv 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  y  ->  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps )
2016, 19anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  ( A. k  e.  (
x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ps ) )
21 r19.26 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
2220, 21sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ( ph  /\  ps ) )
23 raleq 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  ( A. k  e.  z 
( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
) )
2423rspcev 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
)  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2513, 22, 24syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  /\  ( A. k  e.  x  ph  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2625an4s 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\ 
A. k  e.  x  ph )  /\  ( y  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2726rexlimdvaa 2799 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  x  ph )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2827rexlimiva 2793 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2928imp 419 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
30 raleq 2872 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
3130rexrn 5839 . . . . 5  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
325, 6, 31mp2b 10 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
3329, 32sylib 189 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
349, 12, 33syl2anbr 467 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) )
354, 34impbii 181 1  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   ran crn 4846    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452
This theorem is referenced by:  rexfiuz  12114  rexuz3  12115  rexanuz2  12116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-neg 9258  df-z 10247  df-uz 10453
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