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Theorem rexanuz 11829
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Distinct variable groups:    j, k    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2675 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
21rexbii 2568 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
3 r19.40 2691 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
42, 3sylbi 187 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
5 uzf 10233 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  x  ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
87rexrn 5667 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 9 . . 3  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
10 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  y  ps  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1110rexrn 5667 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 9 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
13 uzin2 11828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>= )
14 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
15 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  x  ->  ( A. k  e.  x  ph 
->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  x  ph  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph )
17 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
18 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  y  ->  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps )
2016, 19anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  ( A. k  e.  (
x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ps ) )
21 r19.26 2675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
2220, 21sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ( ph  /\  ps ) )
23 raleq 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  ( A. k  e.  z 
( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
) )
2423rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
)  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2513, 22, 24syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  /\  ( A. k  e.  x  ph  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2625an4s 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\ 
A. k  e.  x  ph )  /\  ( y  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2726expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\ 
A. k  e.  x  ph )  /\  y  e. 
ran  ZZ>= )  ->  ( A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  (
ph  /\  ps )
) )
2827rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  x  ph )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2928rexlimiva 2662 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
3029imp 418 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
31 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
3231rexrn 5667 . . . . 5  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
335, 6, 32mp2b 9 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
3430, 33sylib 188 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
359, 12, 34syl2anbr 466 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) )
364, 35impbii 180 1  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  rexfiuz  11831  rexuz3  11832  rexanuz2  11833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231
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