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Theorem rexanuz2 11833
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexanuz2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)    M( k)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10235 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2375 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
43a1d 22 . . 3  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ ) )
54rexlimiv 2661 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  M  e.  ZZ )
63a1d 22 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  M  e.  ZZ ) )
76rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  M  e.  ZZ )
87adantr 451 . 2  |-  ( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps )  ->  M  e.  ZZ )
92rexuz3 11832 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) ) )
102rexuz3 11832 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
112rexuz3 11832 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1210, 11anbi12d 691 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) ) )
13 rexanuz 11829 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
1412, 13syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
) )
159, 14bitrd 244 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps ) ) )
165, 8, 15pm5.21nii 342 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ` cfv 5255   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  climuni  12026  2clim  12046  climcn2  12066  lmmo  17108  txlm  17342  cmetcaulem  18714  iscmet3lem2  18718  ulmdvlem3  19779  stoweidlem7  27756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231
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