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Theorem rexfiuz 11847
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, A    ph, j
Allowed substitution hints:    ph( k, n)

Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  (/)  ph )
)
21rexralbidv 2600 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
)
3 raleq 2749 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
42, 3bibi12d 312 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
5 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  y  ph ) )
65rexralbidv 2600 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph ) )
7 raleq 2749 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
86, 7bibi12d 312 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
9 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
109rexralbidv 2600 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
11 raleq 2749 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 312 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
13 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  A  ph ) )
1413rexralbidv 2600 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph ) )
15 raleq 2749 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 312 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
17 0z 10051 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
18 ne0i 3474 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ZZ  =/=  (/) )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ZZ  =/=  (/)
20 ral0 3571 . . . . 5  |-  A. n  e.  (/)  ph
2120rgen2w 2624 . . . 4  |-  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
22 r19.2z 3556 . . . 4  |-  ( ( ZZ  =/=  (/)  /\  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
2319, 21, 22mp2an 653 . . 3  |-  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
24 ral0 3571 . . 3  |-  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph
2523, 242th 230 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
26 anbi1 687 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
27 rexanuz 11845 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
28 ralunb 3369 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } )
ph 
<->  ( A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } ph ) )
2928ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
3029rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
31 vex 2804 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
32 sbcrexg 3079 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
33 ralsns 3683 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
34 ralcom 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
35 ralsns 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3634, 35syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  [. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3736rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
3832, 33, 373bitr4d 276 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
3931, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph )
4039anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4127, 30, 403bitr4i 268 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
42 ralunb 3369 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e. 
{ z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4326, 41, 423bitr4g 279 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4443a1i 10 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
454, 8, 12, 16, 25, 44findcard2 7114 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004    u. cun 3163   (/)c0 3468   {csn 3653   ` cfv 5271   Fincfn 6879   0cc0 8753   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  18959  rrncmslem  26659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247
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