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Theorem rexfiuz 12151
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, A    ph, j
Allowed substitution hints:    ph( k, n)

Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  (/)  ph )
)
21rexralbidv 2749 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
)
3 raleq 2904 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
42, 3bibi12d 313 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
5 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  y  ph ) )
65rexralbidv 2749 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph ) )
7 raleq 2904 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
86, 7bibi12d 313 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
9 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
109rexralbidv 2749 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
11 raleq 2904 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 313 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
13 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  A  ph ) )
1413rexralbidv 2749 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph ) )
15 raleq 2904 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 313 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
17 0z 10293 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
18 ne0i 3634 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ZZ  =/=  (/) )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ZZ  =/=  (/)
20 ral0 3732 . . . . 5  |-  A. n  e.  (/)  ph
2120rgen2w 2774 . . . 4  |-  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
22 r19.2z 3717 . . . 4  |-  ( ( ZZ  =/=  (/)  /\  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
2319, 21, 22mp2an 654 . . 3  |-  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
24 ral0 3732 . . 3  |-  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph
2523, 242th 231 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
26 anbi1 688 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
27 rexanuz 12149 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
28 ralunb 3528 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } )
ph 
<->  ( A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } ph ) )
2928ralbii 2729 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
3029rexbii 2730 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
31 vex 2959 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
32 sbcrexg 3236 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
33 ralsns 3844 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
34 ralcom 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
35 ralsns 3844 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3634, 35syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  [. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3736rexbidv 2726 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
3832, 33, 373bitr4d 277 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
3931, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph )
4039anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4127, 30, 403bitr4i 269 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
42 ralunb 3528 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e. 
{ z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4326, 41, 423bitr4g 280 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4443a1i 11 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
454, 8, 12, 16, 25, 44findcard2 7348 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   [.wsbc 3161    u. cun 3318   (/)c0 3628   {csn 3814   ` cfv 5454   Fincfn 7109   0cc0 8990   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  19480  rrncmslem  26541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489
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