Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexfrabdioph Structured version   Unicode version

Theorem rexfrabdioph 26857
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    u, t,
v, M    t, N, u, v    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( v, u)

Proof of Theorem rexfrabdioph
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2574 . . 3  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
2 nfcv 2574 . . 3  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
3 nfv 1630 . . 3  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ph
4 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ u NN0
5 nfsbc1v 3182 . . . 4  |-  F/ u [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph
64, 5nfrex 2763 . . 3  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph
7 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ b
ph
8 nfsbc1v 3182 . . . . 5  |-  F/ v
[. b  /  v ]. ph
9 sbceq1a 3173 . . . . 5  |-  ( v  =  b  ->  ( ph 
<-> 
[. b  /  v ]. ph ) )
107, 8, 9cbvrex 2931 . . . 4  |-  ( E. v  e.  NN0  ph  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. ph )
11 sbceq1a 3173 . . . . 5  |-  ( u  =  a  ->  ( [. b  /  v ]. ph  <->  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph ) )
1211rexbidv 2728 . . . 4  |-  ( u  =  a  ->  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. ph  <->  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph )
)
1310, 12syl5bb 250 . . 3  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ph  <->  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph )
)
141, 2, 3, 6, 13cbvrab 2956 . 2  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph }
15 rexfrabdioph.1 . . 3  |-  M  =  ( N  +  1 )
16 dfsbcq 3165 . . . 4  |-  ( b  =  ( t `  M )  ->  ( [. b  /  v ]. ph  <->  [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
1716sbcbidv 3217 . . 3  |-  ( b  =  ( t `  M )  ->  ( [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph  <->  [. a  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
18 dfsbcq 3165 . . 3  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
1915, 17, 18rexrabdioph 26856 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  N ) )
2014, 19syl5eqel 2522 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711   [.wsbc 3163    |` cres 4882   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   1c1 8993    + caddc 8995   NN0cn0 10223   ...cfz 11045  Diophcdioph 26815
This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  26858  3rexfrabdioph  26859  7rexfrabdioph  26862  rmxdioph  27089  expdiophlem2  27095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-hash 11621  df-mzpcl 26782  df-mzp 26783  df-dioph 26816
  Copyright terms: Public domain W3C validator