Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Unicode version

Theorem rexico 12149
 Description: Rextrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rexico
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4
2 pnfxr 10705 . . . 4
3 icossre 10983 . . . 4
41, 2, 3sylancl 644 . . 3
5 ssrexv 3400 . . 3
64, 5syl 16 . 2
7 simpr 448 . . . . . . 7
8 simplr 732 . . . . . . 7
9 ifcl 3767 . . . . . . 7
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6
11 max1 10765 . . . . . . 7
128, 7, 11syl2anc 643 . . . . . 6
13 elicopnf 10992 . . . . . . 7
1413ad2antlr 708 . . . . . 6
1510, 12, 14mpbir2and 889 . . . . 5
168adantr 452 . . . . . . . . 9
17 simplr 732 . . . . . . . . 9
18 simpll 731 . . . . . . . . . 10
1918sselda 3340 . . . . . . . . 9
20 maxle 10770 . . . . . . . . 9
2116, 17, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8
22 simpr 448 . . . . . . . 8
2321, 22syl6bi 220 . . . . . . 7
2423imim1d 71 . . . . . 6
2524ralimdva 2776 . . . . 5
26 breq1 4207 . . . . . . . 8
2726imbi1d 309 . . . . . . 7
2827ralbidv 2717 . . . . . 6
2928rspcev 3044 . . . . 5
3015, 25, 29ee12an 1372 . . . 4
3130rexlimdva 2822 . . 3
32 breq1 4207 . . . . . 6
3332imbi1d 309 . . . . 5
3433ralbidv 2717 . . . 4
3534cbvrexv 2925 . . 3
3631, 35syl6ib 218 . 2
376, 36impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  cif 3731   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073  cr 8981   cpnf 9109  cxr 9111   cle 9113  cico 10910 This theorem is referenced by:  rlimi2  12300  ello1mpt2  12308  dvfsumrlim  19907 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ico 10914
 Copyright terms: Public domain W3C validator