MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Unicode version

Theorem rexico 11853
Description: Rextrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 10471 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10746 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( B [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,)  +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3251 . . 3  |-  ( ( B [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
7 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
8 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
9 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  RR )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR )
11 max1 10530 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
128, 7, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
13 elicopnf 10755 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1413ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1510, 12, 14mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo ) )
168adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
17 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
18 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1918sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
20 maxle 10535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
2116, 17, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
22 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2321, 22syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2423imim1d 69 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2524ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) ) )
26 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( n  <_  k  <->  if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k )
)
2726imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2827ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( A. k  e.  A  ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2928rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo )  /\  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) )
3015, 25, 29ee12an 1353 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
3130rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
32 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3332imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3433ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3534cbvrexv 2778 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3631, 35syl6ib 217 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
376, 36impbid 183 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   [,)cico 10674
This theorem is referenced by:  rlimi2  12004  ello1mpt2  12012  dvfsumrlim  19394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678
  Copyright terms: Public domain W3C validator