MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Unicode version

Theorem rexico 12077
Description: Rextrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 10638 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10916 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( B [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,)  +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3344 . . 3  |-  ( ( B [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
7 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
8 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
9 ifcl 3711 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  RR )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR )
11 max1 10698 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
128, 7, 11syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
13 elicopnf 10925 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1413ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1510, 12, 14mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo ) )
168adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
17 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
18 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1918sselda 3284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
20 maxle 10703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
2116, 17, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
22 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2321, 22syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2423imim1d 71 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2524ralimdva 2720 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) ) )
26 breq1 4149 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( n  <_  k  <->  if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k )
)
2726imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2827ralbidv 2662 . . . . . 6  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( A. k  e.  A  ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2928rspcev 2988 . . . . 5  |-  ( ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo )  /\  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) )
3015, 25, 29ee12an 1369 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
3130rexlimdva 2766 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
32 breq1 4149 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3332imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3433ralbidv 2662 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3534cbvrexv 2869 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3631, 35syl6ib 218 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
376, 36impbid 184 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643    C_ wss 3256   ifcif 3675   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915    +oocpnf 9043   RR*cxr 9045    <_ cle 9047   [,)cico 10843
This theorem is referenced by:  rlimi2  12228  ello1mpt2  12236  dvfsumrlim  19775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-ico 10847
  Copyright terms: Public domain W3C validator