MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Unicode version

Theorem rexico 12149
Description: Rextrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 10705 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10983 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( B [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,)  +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3400 . . 3  |-  ( ( B [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
7 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
8 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
9 ifcl 3767 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  RR )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR )
11 max1 10765 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
128, 7, 11syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
13 elicopnf 10992 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1413ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1510, 12, 14mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo ) )
168adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
17 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
18 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1918sselda 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
20 maxle 10770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
2116, 17, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
22 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2321, 22syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2423imim1d 71 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2524ralimdva 2776 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) ) )
26 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( n  <_  k  <->  if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k )
)
2726imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2827ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( A. k  e.  A  ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2928rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  ( B [,)  +oo )  /\  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) )
3015, 25, 29ee12an 1372 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
3130rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
32 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3332imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3433ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3534cbvrexv 2925 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3631, 35syl6ib 218 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
376, 36impbid 184 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,)  +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   [,)cico 10910
This theorem is referenced by:  rlimi2  12300  ello1mpt2  12308  dvfsumrlim  19907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ico 10914
  Copyright terms: Public domain W3C validator