MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexiunxp Unicode version

Theorem rexiunxp 4826
Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4828, 
B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
rexiunxp  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    B( y)

Proof of Theorem rexiunxp
StepHypRef Expression
1 ralxp.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
21notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( -.  ph  <->  -. 
ps ) )
32raliunxp 4825 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps )
4 ralnex 2553 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  -.  ps 
<->  -.  E. z  e.  B  ps )
54ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps 
<-> 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
63, 5bitri 240 . . 3  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
76notbii 287 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  -. 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
8 dfrex2 2556 . 2  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  -.  A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph )
9 dfrex2 2556 . 2  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
107, 8, 93bitr4i 268 1  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623   A.wral 2543   E.wrex 2544   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905    X. cxp 4687
This theorem is referenced by:  rexxp  4828  fsumvma  20452  cvmliftlem15  23829  filnetlem4  26330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iun 3907  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696
  Copyright terms: Public domain W3C validator