MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexiunxp Unicode version

Theorem rexiunxp 4863
Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4865, 
B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
rexiunxp  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    B( y)

Proof of Theorem rexiunxp
StepHypRef Expression
1 ralxp.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
21notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( -.  ph  <->  -. 
ps ) )
32raliunxp 4862 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps )
4 ralnex 2587 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  -.  ps 
<->  -.  E. z  e.  B  ps )
54ralbii 2601 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps 
<-> 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
63, 5bitri 240 . . 3  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
76notbii 287 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  -. 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
8 dfrex2 2590 . 2  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  -.  A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph )
9 dfrex2 2590 . 2  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
107, 8, 93bitr4i 268 1  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1633   A.wral 2577   E.wrex 2578   {csn 3674   <.cop 3677   U_ciun 3942    X. cxp 4724
This theorem is referenced by:  rexxp  4865  fsumvma  20505  cvmliftlem15  24113  filnetlem4  25479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-iun 3944  df-opab 4115  df-xp 4732  df-rel 4733
  Copyright terms: Public domain W3C validator