MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Unicode version

Theorem rexpen 12827
Description: The real numbers are equinumerous to their own cross product, even though it is not necessarily true that  RR is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 7898 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 12826 . . . . . 6  |-  RR  ~~  ~P NN
2 nnenom 11319 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
3 pwen 7280 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  om  ->  ~P NN  ~~ 
~P om )
42, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ~P NN  ~~ 
~P om
51, 4entri 7161 . . . . 5  |-  RR  ~~  ~P om
6 omex 7598 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
76pw2en 7215 . . . . 5  |-  ~P om  ~~  ( 2o  ^m  om )
85, 7entri 7161 . . . 4  |-  RR  ~~  ( 2o  ^m  om )
9 xpen 7270 . . . 4  |-  ( ( RR  ~~  ( 2o 
^m  om )  /\  RR  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  ( RR  X.  RR )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )
108, 8, 9mp2an 654 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )
11 2onn 6883 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
1211elexi 2965 . . . . . . 7  |-  2o  e.  _V
1312, 12, 6xpmapen 7275 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )
1413ensymi 7157 . . . . 5  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  (
( 2o  X.  2o )  ^m  om )
15 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  C_  2o
16 ssnnfi 7328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  2o  C_  2o )  ->  2o  e.  Fin )
1711, 15, 16mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  Fin
18 xpfi 7378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( 2o  X.  2o )  e.  Fin )
1917, 17, 18mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o 
X.  2o )  e. 
Fin
20 isfinite 7607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  X.  2o )  e.  Fin  <->  ( 2o  X.  2o )  ~<  om )
2119, 20mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<  om
226canth2 7260 . . . . . . . . . 10  |-  om  ~<  ~P
om
23 sdomtr 7245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2o  X.  2o )  ~<  om  /\  om  ~<  ~P
om )  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<  ~P om )
2421, 22, 23mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<  ~P om
25 sdomdom 7135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  X.  2o ) 
~<  ~P om  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<_  ~P
om )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<_  ~P
om
27 domentr 7166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2o  X.  2o )  ~<_  ~P om  /\  ~P om  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)
2826, 7, 27mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
29 mapdom1 7272 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )  ->  ( ( 2o 
X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  ^m  om ) )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )
31 mapxpen 7273 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  om  e.  _V  /\  om  e.  _V )  ->  (
( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) ) )
3211, 6, 6, 31mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) )
3312enref 7140 . . . . . . . 8  |-  2o  ~~  2o
34 xpomen 7897 . . . . . . . 8  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
35 mapen 7271 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2o  ~~  2o  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )
3633, 34, 35mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
^m  ( om  X.  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om )
3732, 36entri 7161 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  om )
38 domentr 7166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  /\  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  (
( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)
3930, 37, 38mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
40 endomtr 7165 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )  ~~  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  /\  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)  ->  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~<_  ( 2o 
^m  om ) )
4114, 39, 40mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~<_  ( 2o 
^m  om )
42 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
^m  om )  e.  _V
43 0ex 4339 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
4442, 43xpsnen 7192 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~~  ( 2o  ^m  om )
4544ensymi 7157 . . . . 5  |-  ( 2o 
^m  om )  ~~  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )
46 snfi 7187 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  Fin
47 isfinite 7607 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  <->  { (/)
}  ~<  om )
4846, 47mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  { (/) } 
~<  om
49 sdomtr 7245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { (/) }  ~<  om  /\  om 
~<  ~P om )  ->  { (/) }  ~<  ~P om )
5048, 22, 49mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
~<  ~P om
51 sdomdom 7135 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  ~<  ~P om  ->  { (/) }  ~<_  ~P om )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  ~P om
53 domentr 7166 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  ~P om  /\ 
~P om  ~~  ( 2o 
^m  om ) )  ->  { (/) }  ~<_  ( 2o 
^m  om ) )
5452, 7, 53mp2an 654 . . . . . 6  |-  { (/) }  ~<_  ( 2o  ^m  om )
5542xpdom2 7203 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  ~<_  ( 2o  ^m 
om )  ->  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )
57 endomtr 7165 . . . . 5  |-  ( ( ( 2o  ^m  om )  ~~  ( ( 2o 
^m  om )  X.  { (/)
} )  /\  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )  ->  ( 2o  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) ) )
5845, 56, 57mp2an 654 . . . 4  |-  ( 2o 
^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )
59 sbth 7227 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )  ~<_  ( 2o  ^m  om )  /\  ( 2o  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) ) )  ->  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )
6041, 58, 59mp2an 654 . . 3  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om )
6110, 60entri 7161 . 2  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  ( 2o  ^m  om )
6261, 8entr4i 7164 1  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   class class class wbr 4212   omcom 4845    X. cxp 4876  (class class class)co 6081   2oc2o 6718    ^m cmap 7018    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109   RRcr 8989   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  cpnnen  12828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator