MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt Unicode version

Theorem rexrnmpt 5686
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralrnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
ralrnmpt.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, B    ch, y    y, F    ps, x
Allowed substitution hints:    ps( y)    ch( x)    A( y)    B( x)    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt
StepHypRef Expression
1 ralrnmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
2 ralrnmpt.2 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
32notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
41, 3ralrnmpt 5685 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F  -.  ps 
<-> 
A. x  e.  A  -.  ch ) )
54notbid 285 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( -. 
A. y  e.  ran  F  -.  ps  <->  -.  A. x  e.  A  -.  ch )
)
6 dfrex2 2569 . 2  |-  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  -.  A. y  e. 
ran  F  -.  ps )
7 dfrex2 2569 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ch  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ch )
85, 6, 73bitr4g 279 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    e. cmpt 4093   ran crn 4706
This theorem is referenced by:  onoviun  6376  onnseq  6377  ghmcyg  15198  pgpfac1lem2  15326  pgpfac1lem3  15328  pgpfac1lem4  15329  pptbas  16761  lly1stc  17238  txbas  17278  eltsms  17831  tsmsf1o  17843  xrge0tsms  18355  fmcfil  18714  ellimc2  19243  limcflf  19247  xrge0tsmsd  23397  cntotbnd  26623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator