MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt Unicode version

Theorem rexrnmpt 5820
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralrnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
ralrnmpt.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, B    ch, y    y, F    ps, x
Allowed substitution hints:    ps( y)    ch( x)    A( y)    B( x)    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt
StepHypRef Expression
1 ralrnmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
2 ralrnmpt.2 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
32notbid 286 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
41, 3ralrnmpt 5819 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F  -.  ps 
<-> 
A. x  e.  A  -.  ch ) )
54notbid 286 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( -. 
A. y  e.  ran  F  -.  ps  <->  -.  A. x  e.  A  -.  ch )
)
6 dfrex2 2664 . 2  |-  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  -.  A. y  e. 
ran  F  -.  ps )
7 dfrex2 2664 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ch  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ch )
85, 6, 73bitr4g 280 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    e. cmpt 4209   ran crn 4821
This theorem is referenced by:  onoviun  6543  onnseq  6544  ghmcyg  15434  pgpfac1lem2  15562  pgpfac1lem3  15564  pgpfac1lem4  15565  pptbas  16997  lly1stc  17482  txbas  17522  eltsms  18085  tsmsf1o  18097  metutop  18489  xrge0tsms  18738  fmcfil  19098  ellimc2  19633  limcflf  19637  xrge0tsmsd  24054  cntotbnd  26198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-fv 5404
  Copyright terms: Public domain W3C validator