MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt Structured version   Unicode version

Theorem rexrnmpt 5871
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralrnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
ralrnmpt.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, B    ch, y    y, F    ps, x
Allowed substitution hints:    ps( y)    ch( x)    A( y)    B( x)    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt
StepHypRef Expression
1 ralrnmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
2 ralrnmpt.2 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
32notbid 286 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
41, 3ralrnmpt 5870 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F  -.  ps 
<-> 
A. x  e.  A  -.  ch ) )
54notbid 286 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( -. 
A. y  e.  ran  F  -.  ps  <->  -.  A. x  e.  A  -.  ch )
)
6 dfrex2 2710 . 2  |-  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  -.  A. y  e. 
ran  F  -.  ps )
7 dfrex2 2710 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ch  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ch )
85, 6, 73bitr4g 280 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    e. cmpt 4258   ran crn 4871
This theorem is referenced by:  onoviun  6597  onnseq  6598  ghmcyg  15497  pgpfac1lem2  15625  pgpfac1lem3  15627  pgpfac1lem4  15628  pptbas  17064  lly1stc  17551  txbas  17591  eltsms  18154  tsmsf1o  18166  metutopOLD  18604  psmetutop  18605  xrge0tsms  18857  fmcfil  19217  ellimc2  19756  limcflf  19760  xrge0tsmsd  24215  cntotbnd  26496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator