MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt2 Unicode version

Theorem rexrnmpt2 5975
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpt2.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 ralrnmpt2.2 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 285 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ralrnmpt2 5974 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps ) )
54notbid 285 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( -. 
A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
)
6 dfrex2 2569 . 2  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  -.  A. z  e. 
ran  F  -.  ph )
7 dfrex2 2569 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ps )
87rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps )
9 rexnal 2567 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps 
<->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
108, 9bitri 240 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
115, 6, 103bitr4g 279 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   ran crn 4706    e. cmpt2 5876
This theorem is referenced by:  lsmass  14995  eltx  17279  txrest  17341  txlm  17358  altretop  25703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-oprab 5878  df-mpt2 5879
  Copyright terms: Public domain W3C validator