MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem rexrnmpt2 6186
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpt2.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 ralrnmpt2.2 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 287 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ralrnmpt2 6185 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps ) )
54notbid 287 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( -. 
A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
)
6 dfrex2 2719 . 2  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  -.  A. z  e. 
ran  F  -.  ph )
7 dfrex2 2719 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ps )
87rexbii 2731 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps )
9 rexnal 2717 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps 
<->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
108, 9bitri 242 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
115, 6, 103bitr4g 281 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   ran crn 4880    e. cmpt2 6084
This theorem is referenced by:  lsmass  15303  eltx  17601  txrest  17664  txlm  17681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-br 4214  df-opab 4268  df-cnv 4887  df-dm 4889  df-rn 4890  df-oprab 6086  df-mpt2 6087
  Copyright terms: Public domain W3C validator