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Theorem rexrsb 28050
Description: An equivalent expression for restricted existence, analogous to exsb 2082. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rexrsb  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rexrsb
StepHypRef Expression
1 rexsb 28049 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
2 alral 2614 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph ) )
3 df-ral 2561 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) ) )
4 19.27v 1847 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  <->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  /\  y  e.  A ) )
5 pm2.04 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ( x  e.  A  ->  ph ) ) )
6 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
76biimprd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  A  ->  x  e.  A )
)
8 pm2.83 71 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  -> 
( y  e.  A  ->  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  =  y  -> 
( x  e.  A  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ( y  e.  A  ->  ph ) ) ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  -> 
( x  e.  A  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ( y  e.  A  ->  ph ) ) )
10 pm2.04 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  -> 
( y  e.  A  ->  ph ) )  -> 
( y  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph ) ) )
115, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  -> 
( y  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph ) ) )
1211imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )
1312alimi 1549 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )
144, 13sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )
1514ex 423 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  ->  ( y  e.  A  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
163, 15sylbi 187 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph )  ->  ( y  e.  A  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
1716com12 27 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
182, 17impbid2 195 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph )
) )
1918rexbiia 2589 . 2  |-  ( E. y  e.  A  A. x ( x  =  y  ->  ph )  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph )
)
201, 19bitri 240 1  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557
This theorem is referenced by:  2rexrsb  28052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562
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