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Theorem rexrsb 27608
Description: An equivalent expression for restricted existence, analogous to exsb 2157. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rexrsb  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rexrsb
StepHypRef Expression
1 rexsb 27607 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
2 alral 2700 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph ) )
3 df-ral 2647 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) ) )
4 19.27v 1906 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  <->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  /\  y  e.  A ) )
5 pm2.04 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ( x  e.  A  ->  ph ) ) )
6 eleq1 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
76biimprd 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  A  ->  x  e.  A )
)
8 pm2.83 73 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  -> 
( y  e.  A  ->  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  =  y  -> 
( x  e.  A  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ( y  e.  A  ->  ph ) ) ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  -> 
( x  e.  A  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ( y  e.  A  ->  ph ) ) )
10 pm2.04 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  -> 
( y  e.  A  ->  ph ) )  -> 
( y  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph ) ) )
115, 9, 103syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  -> 
( y  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph ) ) )
1211imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )
1312alimi 1565 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )
144, 13sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( x  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  /\  y  e.  A )  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )
1514ex 424 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  ->  ( y  e.  A  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
163, 15sylbi 188 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph )  ->  ( y  e.  A  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
1716com12 29 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
182, 17impbid2 196 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph )
) )
1918rexbiia 2675 . 2  |-  ( E. y  e.  A  A. x ( x  =  y  ->  ph )  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  =  y  ->  ph )
)
201, 19bitri 241 1  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  =  y  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643
This theorem is referenced by:  2rexrsb  27610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ral 2647  df-rex 2648
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