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Theorem rexun 3355
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 2549 . 2  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph ) )
2 19.43 1592 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
) )
3 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
43anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ph ) )
5 andir 838 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
64, 5bitri 240 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
) )
76exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
8 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
9 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  ph  <->  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
)
108, 9orbi12i 507 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
112, 7, 103bitr4i 268 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
121, 11bitri 240 1  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   E.wrex 2544    u. cun 3150
This theorem is referenced by:  rexprg  3683  rextpg  3685  iunxun  3983  oarec  6560  zornn0g  8132  rpnnen2  12504  vdwlem6  13033  cmpfi  17135  rexunOLD  26341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-rex 2549  df-v 2790  df-un 3157
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