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Theorem rexuzre 11836
Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuzre  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z   
k, M
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexuzre
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 10239 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
2 rexuz3.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2375 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  j  e.  RR )
5 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
65, 2eleq2s 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
7 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
87, 2eleq2s 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
9 eluz 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
106, 8, 9syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
1110biimprd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
1211expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
1312imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  ->  ph )  ->  ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph ) ) )
1413exp4a 589 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  ->  ph )  ->  ( k  e.  Z  ->  (
j  <_  k  ->  ph ) ) ) )
1514ralimdv2 2623 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
1615imp 418 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) )
174, 16jca 518 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  RR  /\ 
A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
1817reximi2 2649 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) )
19 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
20 flcl 10927 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  RR  ->  ( |_ `  j )  e.  ZZ )
2120adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( |_ `  j
)  e.  ZZ )
2221peano2zd 10120 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  ZZ )
23 ifcl 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
2422, 19, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
25 zre 10028 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
26 reflcl 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  RR  ->  ( |_ `  j )  e.  RR )
27 peano2re 8985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  j )  e.  RR  ->  (
( |_ `  j
)  +  1 )  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  RR  ->  (
( |_ `  j
)  +  1 )  e.  RR )
29 max1 10514 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )
3025, 28, 29syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
31 eluz2 10236 . . . . . . 7  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
) ) )
3219, 24, 30, 31syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3332, 2syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  Z
)
34 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ph )
) )
35 uzss 10248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3632, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3736, 2syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  Z )
3837sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
39 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  e.  RR )
4024adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
4140zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
42 eluzelre 10239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )  ->  k  e.  RR )
4342adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  RR )
44 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
4528adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )
4624zred 10117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
47 fllep1 10933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  RR  ->  j  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) )
49 max2 10516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  j )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )
5025, 28, 49syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
5144, 45, 46, 48, 50letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
) )
53 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
5453adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
5539, 41, 43, 52, 54letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  <_  k )
5638, 55jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( k  e.  Z  /\  j  <_  k ) )
5756ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ( k  e.  Z  /\  j  <_ 
k ) ) )
5857imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ph ) ) )
5934, 58syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ph ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ph ) ) )
6059ralimdv2 2623 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( j  <_ 
k  ->  ph )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph ) )
61 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( ZZ>= `  m )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) ) )
6261raleqdv 2742 . . . . . 6  |-  ( m  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<-> 
A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph ) )
6362rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph )
6433, 60, 63ee12an 1353 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( j  <_ 
k  ->  ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ph ) )
6564rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph ) )
66 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  j )
)
6766raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
6867cbvrexv 2765 . . 3  |-  ( E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
6965, 68syl6ib 217 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
7018, 69impbid2 195 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   |_cfl 10924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fl 10925
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