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Theorem rfcnnnub 27810
Description: Given a real continuous function  F defined on a compact topological space, there is always a natural number that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1  |-  F/_ t F
rfcnnnub.2  |-  F/ t
ph
rfcnnnub.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnnnub.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
rfcnnnub.5  |-  T  = 
U. J
rfcnnnub.6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
rfcnnnub.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
rfcnnnub.8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Distinct variable groups:    t, n, T    n, F    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t, n)    C( t, n)    F( t)    J( n)    K( n)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s F
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t F
3 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s T
4 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t T
5 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ s
ph
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . . 9  |-  T  = 
U. J
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1210, 11syl6eleq 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 27801 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
15 df-rex 2562 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  <->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
1614, 15sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
178, 7, 11, 10fcnre 27799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
18 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : T --> RR  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s
)  e.  RR )
1917, 18sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
2019ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( F `  s
)  e.  RR ) )
21 idd 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) ) )
2220, 21anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  ->  ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2322eximdv 1612 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  ->  E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2416, 23mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
2617, 25sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2726ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t
)  e.  RR ) )
286, 27ralrimi 2637 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
2924, 28jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
30 19.41v 1854 . . . . 5  |-  ( E. s ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3129, 30sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. s ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
32 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( (
( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3332exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  E. s
( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3431, 33sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
35 arch 9978 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
36353ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
37 df-rex 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )
3836, 37sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
39 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  n  e.  NN )
40 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
s
412, 40nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( F `  s
)
42 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t RR
4341, 42nfel 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  e.  RR
44 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
45 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR
4643, 44, 45nf3an 1786 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
47 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  n  e.  NN
48 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  <
49 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
n
5041, 48, 49nfbr 4083 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  <  n
5147, 50nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
5246, 51nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
53 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
54 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `
 t )  <_ 
( F `  s
) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) )
5655imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )
57 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
5957, 58jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  /\  t  e.  T ) )
60 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `
 t )  e.  RR ) )
6160imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
6259, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
63 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
6462, 63jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR ) )
65 leloe 8924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR )  -> 
( ( F `  t )  <_  ( F `  s )  <->  ( ( F `  t
)  <  ( F `  s )  \/  ( F `  t )  =  ( F `  s ) ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  <_  ( F `  s )  <->  ( ( F `  t )  <  ( F `  s
)  \/  ( F `
 t )  =  ( F `  s
) ) ) )
6756, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  <  ( F `  s )  \/  ( F `  t )  =  ( F `  s ) ) )
68 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  NN )
69 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  RR )
7164, 70jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR )  /\  n  e.  RR ) )
72 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  <->  ( (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR )  /\  n  e.  RR )
)
7371, 72sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
74 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  <  n )
7573, 74jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
76 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( ( F `  t )  <  ( F `  s )  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( F `  t
)  <  n )
)
7776expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  t
)  <  ( F `  s ) )  -> 
( ( F `  s )  <  n  ->  ( F `  t
)  <  n )
)
7877impancom 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( ( F `  t )  <  ( F `  s )  ->  ( F `  t
)  <  n )
)
7975, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  <  ( F `  s )  ->  ( F `  t )  <  n ) )
80 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  s )  =  ( F `  t )  ->  (
( F `  s
)  <  n  <->  ( F `  t )  <  n
) )
8180eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  t )  =  ( F `  s )  ->  (
( F `  s
)  <  n  <->  ( F `  t )  <  n
) )
8281biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  s )  <  n  ->  (
( F `  t
)  =  ( F `
 s )  -> 
( F `  t
)  <  n )
)
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( F `  s
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)  =  ( F `
 s )  -> 
( F `  t
)  <  n )
) )
8483imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( ( F `  t )  =  ( F `  s )  ->  ( F `  t )  <  n
) )
8575, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  =  ( F `
 s )  -> 
( F `  t
)  <  n )
)
8679, 85jaod 369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
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)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( F `  t )  <  ( F `  s )  \/  ( F `  t
)  =  ( F `
 s ) )  ->  ( F `  t )  <  n
) )
8767, 86mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <  n )
8887ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  <  n
) )
8952, 88ralrimi 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
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n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
) )
9190ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
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( n  e.  NN  /\  ( F `  s
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A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
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 s )  < 
n )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
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( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
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9834, 97syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
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10098, 99sylib 188 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   (,)cioo 10672   topGenctg 13358    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  27912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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