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Theorem rfcnnnub 27707
Description: Given a real continuous function  F defined on a compact topological space, there is always a natural number that is a strict upper bound of it's range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1  |-  F/_ t F
rfcnnnub.2  |-  F/ t
ph
rfcnnnub.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnnnub.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
rfcnnnub.5  |-  T  = 
U. J
rfcnnnub.6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
rfcnnnub.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
rfcnnnub.8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Distinct variable groups:    t, n, T    n, F    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t, n)    C( t, n)    F( t)    J( n)    K( n)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s F
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t F
3 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s T
4 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t T
5 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ s
ph
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . . 9  |-  T  = 
U. J
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1210, 11syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 27698 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
15 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  <->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
1614, 15sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
178, 7, 11, 10fcnre 27696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
18 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : T --> RR  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s
)  e.  RR )
1917, 18sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
2019ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( F `  s
)  e.  RR ) )
21 idd 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) ) )
2220, 21anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  ->  ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2322eximdv 1608 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  ->  E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2416, 23mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
2617, 25sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2726ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t
)  e.  RR ) )
286, 27ralrimi 2624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
2924, 28jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
30 19.41v 1842 . . . . 5  |-  ( E. s ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3129, 30sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. s ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
32 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( (
( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3332exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  E. s
( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3431, 33sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
35 arch 9962 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
36353ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
37 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )
3836, 37sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
39 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  n  e.  NN )
40 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
s
412, 40nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( F `  s
)
42 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t RR
4341, 42nfel 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  e.  RR
44 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
45 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR
4643, 44, 45nf3an 1774 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
47 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  n  e.  NN
48 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  <
49 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
n
5041, 48, 49nfbr 4067 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  <  n
5147, 50nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
5246, 51nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
53 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
54 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `
 t )  <_ 
( F `  s
) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) )
5655imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )
57 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
5957, 58jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  /\  t  e.  T ) )
60 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `
 t )  e.  RR ) )
6160imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
6259, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
63 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
6462, 63jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR ) )
65 leloe 8908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR )  -> 
( ( F `  t )  <_  ( F `  s )  <->  ( ( F `  t
)  <  ( F `  s )  \/  ( F `  t )  =  ( F `  s ) ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  <_  ( F `  s )  <->  ( ( F `  t )  <  ( F `  s
)  \/  ( F `
 t )  =  ( F `  s
) ) ) )
6756, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  <  ( F `  s )  \/  ( F `  t )  =  ( F `  s ) ) )
68 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  NN )
69 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  RR )
7164, 70jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR )  /\  n  e.  RR ) )
72 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  <->  ( (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR )  /\  n  e.  RR )
)
7371, 72sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
74 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  <  n )
7573, 74jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
76 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( ( F `  t )  <  ( F `  s )  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( F `  t
)  <  n )
)
7776expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  t
)  <  ( F `  s ) )  -> 
( ( F `  s )  <  n  ->  ( F `  t
)  <  n )
)
7877impancom 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( ( F `  t )  <  ( F `  s )  ->  ( F `  t
)  <  n )
)
7975, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  <  ( F `  s )  ->  ( F `  t )  <  n ) )
80 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  s )  =  ( F `  t )  ->  (
( F `  s
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) )
8180eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  t )  =  ( F `  s )  ->  (
( F `  s
)  <  n  <->  ( F `  t )  <  n
) )
8281biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  s )  <  n  ->  (
( F `  t
)  =  ( F `
 s )  -> 
( F `  t
)  <  n )
)
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  s )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( F `  s
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)  =  ( F `
 s )  -> 
( F `  t
)  <  n )
) )
8483imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  s
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( ( F `  t )  =  ( F `  s )  ->  ( F `  t )  <  n
) )
8575, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  =  ( F `
 s )  -> 
( F `  t
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)
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 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
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)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( F `  t )  <  ( F `  s )  \/  ( F `  t
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 s ) )  ->  ( F `  t )  <  n
) )
8767, 86mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <  n )
8887ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  <  n
) )
8952, 88ralrimi 2624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
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n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
) )
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A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
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 s )  < 
n )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
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( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
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10098, 99sylib 188 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   (,)cioo 10656   topGenctg 13342    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  27809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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