Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Unicode version

Theorem rfcnpre2 27692
Description: If  F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real  B, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1  |-  F/_ x B
rfcnpre2.2  |-  F/_ x F
rfcnpre2.3  |-  F/ x ph
rfcnpre2.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnpre2.5  |-  X  = 
U. J
rfcnpre2.6  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
rfcnpre2.7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
rfcnpre2.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2  |-  ( ph  ->  A  e.  J )

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5  |-  F/ x ph
2 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
4 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
5 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5fcnre 27686 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
76fnvinran 27675 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 elioomnf 11004 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
1110baibd 877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
)  <->  ( F `  x )  <  B
) )
127, 11syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( F `  x )  <  B
) )
1312pm5.32da 624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
14 ffn 5594 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> RR  ->  F  Fn  X )
15 elpreima 5853 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
166, 14, 153syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
17 rabid 2886 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  X  |  ( F `
 x )  < 
B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) )
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
1913, 16, 183bitr4d 278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
201, 19alrimi 1782 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
21 rfcnpre2.2 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
2221nfcnv 5054 . . . . . 6  |-  F/_ x `' F
23 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -oo
24 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x (,)
25 rfcnpre2.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x B
2623, 24, 25nfov 6107 . . . . . 6  |-  F/_ x
(  -oo (,) B )
2722, 26nfima 5214 . . . . 5  |-  F/_ x
( `' F "
(  -oo (,) B ) )
28 nfrab1 2890 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
2927, 28cleqf 2598 . . . 4  |-  ( ( `' F " (  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } 
<-> 
A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
3020, 29sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } )
31 rfcnpre2.6 . . 3  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
3230, 31syl6eqr 2488 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  A )
33 iooretop 18805 . . . . 5  |-  (  -oo (,) B )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3534, 2syl6eleqr 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  K )
36 cnima 17334 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  (  -oo (,) B )  e.  K )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
375, 35, 36syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
3832, 37eqeltrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   {crab 2711   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   ran crn 4882   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125   (,)cioo 10921   topGenctg 13670    Cn ccn 17293
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-ioo 10925  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cn 17296
  Copyright terms: Public domain W3C validator