Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Unicode version

Theorem rfcnpre2 27363
Description: If  F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real  B, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1  |-  F/_ x B
rfcnpre2.2  |-  F/_ x F
rfcnpre2.3  |-  F/ x ph
rfcnpre2.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnpre2.5  |-  X  = 
U. J
rfcnpre2.6  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
rfcnpre2.7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
rfcnpre2.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2  |-  ( ph  ->  A  e.  J )

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5  |-  F/ x ph
2 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
4 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
5 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5fcnre 27357 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
76fnvinran 27346 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 elioomnf 10924 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
1110baibd 876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
)  <->  ( F `  x )  <  B
) )
127, 11syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( F `  x )  <  B
) )
1312pm5.32da 623 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
14 ffn 5524 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> RR  ->  F  Fn  X )
15 elpreima 5782 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
166, 14, 153syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
17 rabid 2820 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  X  |  ( F `
 x )  < 
B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) )
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
1913, 16, 183bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
201, 19alrimi 1773 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
21 rfcnpre2.2 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
2221nfcnv 4984 . . . . . 6  |-  F/_ x `' F
23 nfcv 2516 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -oo
24 nfcv 2516 . . . . . . 7  |-  F/_ x (,)
25 rfcnpre2.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x B
2623, 24, 25nfov 6036 . . . . . 6  |-  F/_ x
(  -oo (,) B )
2722, 26nfima 5144 . . . . 5  |-  F/_ x
( `' F "
(  -oo (,) B ) )
28 nfrab1 2824 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
2927, 28cleqf 2540 . . . 4  |-  ( ( `' F " (  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } 
<-> 
A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
3020, 29sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } )
31 rfcnpre2.6 . . 3  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
3230, 31syl6eqr 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  A )
33 iooretop 18664 . . . . 5  |-  (  -oo (,) B )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3534, 2syl6eleqr 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  K )
36 cnima 17244 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  (  -oo (,) B )  e.  K )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
375, 35, 36syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
3832, 37eqeltrrd 2455 1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2503   {crab 2646   U.cuni 3950   class class class wbr 4146   `'ccnv 4810   ran crn 4812   "cima 4814    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   RRcr 8915    -oocmnf 9044   RR*cxr 9045    < clt 9046   (,)cioo 10841   topGenctg 13585    Cn ccn 17203
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-ioo 10845  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cn 17206
  Copyright terms: Public domain W3C validator