Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Unicode version

Theorem rfcnpre2 27669
Description: If  F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real  B, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1  |-  F/_ x B
rfcnpre2.2  |-  F/_ x F
rfcnpre2.3  |-  F/ x ph
rfcnpre2.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnpre2.5  |-  X  = 
U. J
rfcnpre2.6  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
rfcnpre2.7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
rfcnpre2.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2  |-  ( ph  ->  A  e.  J )

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5  |-  F/ x ph
2 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
4 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
5 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5fcnre 27663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
76fnvinran 27652 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 elioomnf 10991 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
1110baibd 876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
)  <->  ( F `  x )  <  B
) )
127, 11syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( F `  x )  <  B
) )
1312pm5.32da 623 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
14 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> RR  ->  F  Fn  X )
15 elpreima 5842 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
166, 14, 153syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
17 rabid 2876 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  X  |  ( F `
 x )  < 
B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) )
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
1913, 16, 183bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
201, 19alrimi 1781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
21 rfcnpre2.2 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
2221nfcnv 5043 . . . . . 6  |-  F/_ x `' F
23 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -oo
24 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x (,)
25 rfcnpre2.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x B
2623, 24, 25nfov 6096 . . . . . 6  |-  F/_ x
(  -oo (,) B )
2722, 26nfima 5203 . . . . 5  |-  F/_ x
( `' F "
(  -oo (,) B ) )
28 nfrab1 2880 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
2927, 28cleqf 2595 . . . 4  |-  ( ( `' F " (  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } 
<-> 
A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
3020, 29sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } )
31 rfcnpre2.6 . . 3  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
3230, 31syl6eqr 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  A )
33 iooretop 18792 . . . . 5  |-  (  -oo (,) B )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3534, 2syl6eleqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  K )
36 cnima 17321 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  (  -oo (,) B )  e.  K )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
375, 35, 36syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
3832, 37eqeltrrd 2510 1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558   {crab 2701   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112   (,)cioo 10908   topGenctg 13657    Cn ccn 17280
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-ioo 10912  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283
  Copyright terms: Public domain W3C validator