Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Unicode version

Theorem rfcnpre2 27692
 Description: If is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real , is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1
rfcnpre2.2
rfcnpre2.3
rfcnpre2.4
rfcnpre2.5
rfcnpre2.6
rfcnpre2.7
rfcnpre2.8
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5
2 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . 10
3 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . 10
4 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
5 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . 10
62, 3, 4, 5fcnre 27686 . . . . . . . . 9
76fnvinran 27675 . . . . . . . 8
8 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10
9 elioomnf 11004 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
1110baibd 877 . . . . . . . 8
127, 11syldan 458 . . . . . . 7
1312pm5.32da 624 . . . . . 6
14 ffn 5594 . . . . . . 7
15 elpreima 5853 . . . . . . 7
166, 14, 153syl 19 . . . . . 6
17 rabid 2886 . . . . . . 7
1817a1i 11 . . . . . 6
1913, 16, 183bitr4d 278 . . . . 5
201, 19alrimi 1782 . . . 4
21 rfcnpre2.2 . . . . . . 7
2221nfcnv 5054 . . . . . 6
23 nfcv 2574 . . . . . . 7
24 nfcv 2574 . . . . . . 7
25 rfcnpre2.1 . . . . . . 7
2623, 24, 25nfov 6107 . . . . . 6
2722, 26nfima 5214 . . . . 5
28 nfrab1 2890 . . . . 5
2927, 28cleqf 2598 . . . 4
3020, 29sylibr 205 . . 3
31 rfcnpre2.6 . . 3
3230, 31syl6eqr 2488 . 2
33 iooretop 18805 . . . . 5
3433a1i 11 . . . 4
3534, 2syl6eleqr 2529 . . 3
36 cnima 17334 . . 3
375, 35, 36syl2anc 644 . 2
3832, 37eqeltrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wal 1550  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561  crab 2711  cuni 4017   class class class wbr 4215  ccnv 4880   crn 4882  cima 4884   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cr 8994   cmnf 9123  cxr 9124   clt 9125  cioo 10921  ctg 13670   ccn 17293 This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27791 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-ioo 10925  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cn 17296
 Copyright terms: Public domain W3C validator