Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Unicode version

Theorem rfcnpre2 27702
Description: If  F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real  B, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1  |-  F/_ x B
rfcnpre2.2  |-  F/_ x F
rfcnpre2.3  |-  F/ x ph
rfcnpre2.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnpre2.5  |-  X  = 
U. J
rfcnpre2.6  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
rfcnpre2.7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
rfcnpre2.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2  |-  ( ph  ->  A  e.  J )

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5  |-  F/ x ph
2 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
3 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
5 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
6 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
73, 4, 5, 6fcnre 27696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
87adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> RR )
9 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
108, 9jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F : X --> RR  /\  x  e.  X )
)
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> RR  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
132, 12jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  ( F `  x )  e.  RR ) )
14 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
15 elioomnf 10738 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
1716baibd 875 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
)  <->  ( F `  x )  <  B
) )
1813, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  (  -oo (,) B )  <->  ( F `  x )  <  B
) )
1918pm5.32da 622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) B
) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
20 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> RR  ->  F  Fn  X )
217, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
22 elpreima 5645 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  (  -oo (,) B
) ) ) )
24 rabid 2716 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  X  |  ( F `
 x )  < 
B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) )
2524a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
2619, 23, 253bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B ) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
271, 26alrimi 1745 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
28 rfcnpre2.2 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
2928nfcnv 4860 . . . . . 6  |-  F/_ x `' F
30 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -oo
31 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x (,)
32 rfcnpre2.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x B
3330, 31, 32nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ x
(  -oo (,) B )
3429, 33nfima 5020 . . . . 5  |-  F/_ x
( `' F "
(  -oo (,) B ) )
35 nfrab1 2720 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
3634, 35cleqf 2443 . . . 4  |-  ( ( `' F " (  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } 
<-> 
A. x ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
3727, 36sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } )
38 rfcnpre2.6 . . 3  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
3937, 38syl6eqr 2333 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  =  A )
40 iooretop 18275 . . . . . 6  |-  (  -oo (,) B )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
4140a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
4241, 3syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  -oo (,) B
)  e.  K )
436, 42jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  (  -oo (,) B )  e.  K
) )
44 cnima 16994 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  (  -oo (,) B )  e.  K )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
4543, 44syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) B ) )  e.  J )
4639, 45eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   {crab 2547   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867   (,)cioo 10656   topGenctg 13342    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-ioo 10660  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator