Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre4 Unicode version

Theorem rfcnpre4 27808
 Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller or equal than a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre4.1
rfcnpre4.2
rfcnpre4.3
rfcnpre4.4
rfcnpre4.5
rfcnpre4.6
Assertion
Ref Expression
rfcnpre4
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem rfcnpre4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre4.6 . . . 4
2 rfcnpre4.5 . . . . . 6
3 iocmnfcld 18294 . . . . . 6
42, 3syl 15 . . . . 5
5 rfcnpre4.2 . . . . . . . 8
65fveq2i 5544 . . . . . . 7
76a1i 10 . . . . . 6
87eleq2d 2363 . . . . 5
94, 8mpbird 223 . . . 4
101, 9jca 518 . . 3
11 cnclima 17013 . . 3
1210, 11syl 15 . 2
13 rfcnpre4.3 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
155, 13, 14, 1fcnre 27799 . . . . . . . . 9
16 ffn 5405 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8
18 elpreima 5661 . . . . . . . 8
1917, 18syl 15 . . . . . . 7
20 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . 12
2120a1i 10 . . . . . . . . . . 11
22 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . 13
232, 22syl 15 . . . . . . . . . . . 12
2423adantr 451 . . . . . . . . . . 11
2521, 24jca 518 . . . . . . . . . 10
26 elioc1 10714 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl 15 . . . . . . . . 9
28 simpr3 963 . . . . . . . . . 10
2915adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
32 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
34 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . 12
3635adantr 451 . . . . . . . . . . 11
3733adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
38 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11
40 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
4136, 39, 403jca 1132 . . . . . . . . . 10
4228, 41impbida 805 . . . . . . . . 9
4327, 42bitrd 244 . . . . . . . 8
4443pm5.32da 622 . . . . . . 7
4519, 44bitrd 244 . . . . . 6
46 nfcv 2432 . . . . . . 7
47 nfcv 2432 . . . . . . 7
48 rfcnpre4.1 . . . . . . . . 9
4948, 46nffv 5548 . . . . . . . 8
50 nfcv 2432 . . . . . . . 8
51 nfcv 2432 . . . . . . . 8
5249, 50, 51nfbr 4083 . . . . . . 7
53 fveq2 5541 . . . . . . . 8
5453breq1d 4049 . . . . . . 7
5546, 47, 52, 54elrabf 2935 . . . . . 6
5645, 55syl6bbr 254 . . . . 5
5756eqrdv 2294 . . . 4
58 rfcnpre4.4 . . . 4
5957, 58syl6eqr 2346 . . 3
6059eleq1d 2362 . 2
6112, 60mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419  crab 2560  cuni 3843   class class class wbr 4039  ccnv 4704   crn 4706  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752   cmnf 8881  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cioo 10672  cioc 10673  ctg 13358  ccld 16769   ccn 16970 This theorem is referenced by:  stoweidlem59  27911 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973
 Copyright terms: Public domain W3C validator