Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgspnval Structured version   Unicode version

Theorem rgspnval 27341
 Description: Value of the ring-span of a set of elements in a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rgspnval.r
rgspnval.b
rgspnval.ss
rgspnval.n RingSpan
rgspnval.sp
Assertion
Ref Expression
rgspnval SubRing
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem rgspnval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rgspnval.sp . 2
2 rgspnval.n . . 3 RingSpan
32fveq1d 5722 . 2 RingSpan
4 rgspnval.r . . . . 5
5 elex 2956 . . . . 5
6 fveq2 5720 . . . . . . . 8
76pweqd 3796 . . . . . . 7
8 fveq2 5720 . . . . . . . . 9 SubRing SubRing
9 rabeq 2942 . . . . . . . . 9 SubRing SubRing SubRing SubRing
108, 9syl 16 . . . . . . . 8 SubRing SubRing
1110inteqd 4047 . . . . . . 7 SubRing SubRing
127, 11mpteq12dv 4279 . . . . . 6 SubRing SubRing
13 df-rgspn 15859 . . . . . 6 RingSpan SubRing
14 fvex 5734 . . . . . . . 8
1514pwex 4374 . . . . . . 7
1615mptex 5958 . . . . . 6 SubRing
1712, 13, 16fvmpt 5798 . . . . 5 RingSpan SubRing
184, 5, 173syl 19 . . . 4 RingSpan SubRing
1918fveq1d 5722 . . 3 RingSpan SubRing
20 rgspnval.ss . . . . . 6
21 rgspnval.b . . . . . 6
2220, 21sseqtrd 3376 . . . . 5
2314elpw2 4356 . . . . 5
2422, 23sylibr 204 . . . 4
25 eqid 2435 . . . . . . . . 9
2625subrgid 15862 . . . . . . . 8 SubRing
274, 26syl 16 . . . . . . 7 SubRing
2821, 27eqeltrd 2509 . . . . . 6 SubRing
29 sseq2 3362 . . . . . . 7
3029rspcev 3044 . . . . . 6 SubRing SubRing
3128, 20, 30syl2anc 643 . . . . 5 SubRing
32 intexrab 4351 . . . . 5 SubRing SubRing
3331, 32sylib 189 . . . 4 SubRing
34 sseq1 3361 . . . . . . 7
3534rabbidv 2940 . . . . . 6 SubRing SubRing
3635inteqd 4047 . . . . 5 SubRing SubRing
37 eqid 2435 . . . . 5 SubRing SubRing
3836, 37fvmptg 5796 . . . 4 SubRing SubRing SubRing
3924, 33, 38syl2anc 643 . . 3 SubRing SubRing
4019, 39eqtrd 2467 . 2 RingSpan SubRing
411, 3, 403eqtrd 2471 1 SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  cpw 3791  cint 4042   cmpt 4258  cfv 5446  cbs 13461  crg 15652  SubRingcsubrg 15856  RingSpancrgspn 15857 This theorem is referenced by:  rgspncl  27342  rgspnssid  27343  rgspnmin  27344 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-rgspn 15859
 Copyright terms: Public domain W3C validator