MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhm1 Structured version   Unicode version

Theorem rhm1 15831
Description: Ring homomorphisms are required to fix 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhm1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
rhm1.n  |-  N  =  ( 1r `  S
)
Assertion
Ref Expression
rhm1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  .1.  )  =  N )

Proof of Theorem rhm1
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2436 . . . 4  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
31, 2rhmmhm 15825 . . 3  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S ) ) )
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
)  =  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
)
5 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
)  =  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
)
64, 5mhm0 14746 . . 3  |-  ( F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S
) )  ->  ( F `  ( 0g `  (mulGrp `  R )
) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) ) )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) ) )
8 rhm1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
91, 8rngidval 15666 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
109fveq2i 5731 . 2  |-  ( F `
 .1.  )  =  ( F `  ( 0g `  (mulGrp `  R
) ) )
11 rhm1.n . . 3  |-  N  =  ( 1r `  S
)
122, 11rngidval 15666 . 2  |-  N  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) )
137, 10, 123eqtr4g 2493 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0gc0g 13723   MndHom cmhm 14736  mulGrpcmgp 15648   1rcur 15662   RingHom crh 15817
This theorem is referenced by:  srng1  15947  mplind  16562  mulgrhm2  16788  zrh1  16794  evlslem1  19936  lgsqrlem1  21125  rhmopp  24257  elrhmunit  24258  rhmunitinv  24260  kerunit  24261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mhm 14738  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-rnghom 15819
  Copyright terms: Public domain W3C validator