MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmghm Structured version   Unicode version

Theorem rhmghm 15816
Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rhmghm  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )

Proof of Theorem rhmghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
31, 2isrhm 15814 . . 3  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R
) MndHom  (mulGrp `  S )
) ) ) )
43simprbi 451 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S ) ) ) )
54simpld 446 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   MndHom cmhm 14726    GrpHom cghm 14993  mulGrpcmgp 15638   Ringcrg 15650   RingHom crh 15807
This theorem is referenced by:  rhmf  15817  rhmco  15822  pwsco2rhm  15824  resrhm  15887  rhmeql  15888  rhmima  15889  srngadd  15935  srng0  15938  mplind  16552  mulgrhm2  16778  zrh0  16785  chrrhm  16802  zndvds0  16821  zzngim  16823  cygznlem3  16840  evlslem6  19924  evlslem3  19925  evlslem1  19926  evl1addd  19944  evl1subd  19945  mpfind  19955  ply1rem  20076  plypf1  20121  rhmopp  24247  kerf1hrm  24252  qqhghm  24362  qqhrhm  24363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mhm 14728  df-ghm 14994  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-rnghom 15809
  Copyright terms: Public domain W3C validator