Theorem ringcl 8144

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.1	|- G = (1st` R)
ringcl.2	|- H = (2nd` R)
ringcl.3	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
ringcl	|- ((R e. Ring /\ A e. X /\ B e. X) -> (AHB) e. X)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprrn 4035	. 2 |- ((H:(X X. X)-->X /\ A e. X /\ B e. X) -> (AHB) e. X)
2		ringcl.1	. . 3 |- G = (1st` R)
3		ringcl.2	. . 3 |- H = (2nd` R)
4		ringcl.3	. . 3 |- X = ran G
5	2, 3, 4	ringsm 8143	. 2 |- (R e. Ring -> H:(X X. X)-->X)
6	1, 5	syl3an1 859	1 |- ((R e. Ring /\ A e. X /\ B e. X) -> (AHB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   X. cxp 3168  ran crn 3171  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  Ringcring 8139

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-ring 8140

Copyright terms: Public domain