MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rintopn Unicode version

Theorem rintopn 16906
Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
rintopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^| A )  e.  J )

Proof of Theorem rintopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intiin 4087 . . 3  |-  |^| A  =  |^|_ x  e.  A  x
21ineq2i 3483 . 2  |-  ( X  i^i  |^| A )  =  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )
3 dfss3 3282 . . 3  |-  ( A 
C_  J  <->  A. x  e.  A  x  e.  J )
4 1open.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
54riinopn 16905 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  x  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )  e.  J
)
653com23 1159 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  A  x  e.  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )  e.  J
)
73, 6syl3an2b 1221 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )  e.  J
)
82, 7syl5eqel 2472 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^| A )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    i^i cin 3263    C_ wss 3264   U.cuni 3958   |^|cint 3993   |^|_ciin 4037   Fincfn 7046   Topctop 16882
This theorem is referenced by:  ptcnplem  17575  tmdgsum2  18048  limciun  19649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-fin 7050  df-top 16887
  Copyright terms: Public domain W3C validator