MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rintopn Unicode version

Theorem rintopn 16671
Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
rintopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^| A )  e.  J )

Proof of Theorem rintopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intiin 3972 . . 3  |-  |^| A  =  |^|_ x  e.  A  x
21ineq2i 3380 . 2  |-  ( X  i^i  |^| A )  =  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )
3 dfss3 3183 . . 3  |-  ( A 
C_  J  <->  A. x  e.  A  x  e.  J )
4 1open.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
54riinopn 16670 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  x  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )  e.  J
)
653com23 1157 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  A  x  e.  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )  e.  J
)
73, 6syl3an2b 1219 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  x )  e.  J
)
82, 7syl5eqel 2380 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J  /\  A  e.  Fin )  ->  ( X  i^i  |^| A )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   |^|cint 3878   |^|_ciin 3922   Fincfn 6879   Topctop 16647
This theorem is referenced by:  ptcnplem  17331  tmdgsum2  17795  limciun  19260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-top 16652
  Copyright terms: Public domain W3C validator