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Theorem riota5f 6537
Description: A method for computing restricted iota. (Contributed by NM, 16-Apr-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riota5f.1  |-  ( ph  -> 
F/_ x B )
riota5f.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
riota5f.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<->  x  =  B ) )
Assertion
Ref Expression
riota5f  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    B( x)

Proof of Theorem riota5f
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riota5f.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<->  x  =  B ) )
21ralrimiva 2753 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
) )
3 riota5f.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 a1tru 1336 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  T.  )
5 reu6i 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )  ->  E! x  e.  A  ps )
65adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  E! x  e.  A  ps )
7 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
8 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  A
9 nfra1 2720 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)
108, 9nfan 1842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )
117, 10nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )
12 nfcvd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  F/_ x y )
13 nfvd 1627 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  F/ x  T.  )
14 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  y  e.  A )
15 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
16 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )
17 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  y  e.  A )
1815, 17eqeltrd 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  e.  A )
19 rsp 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  ( ps 
<->  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ps  <->  x  =  y ) ) )
2016, 18, 19sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( ps  <->  x  =  y ) )
2115, 20mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ps )
22 a1tru 1336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  T.  )
2321, 222thd 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( ps  <->  T.  )
)
2411, 12, 13, 14, 23riota2df 6533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  E! x  e.  A  ps )  ->  (  T.  <->  (
iota_ x  e.  A ps )  =  y
) )
256, 24mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  (  T.  <->  (
iota_ x  e.  A ps )  =  y
) )
264, 25mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )
2726expr 599 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y ) )
2827ralrimiva 2753 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y ) )
29 rspsbc 3203 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )  ->  [. B  /  y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )
) )
303, 28, 29sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  [. B  /  y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )
)
31 nfcvd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ x y )
32 riota5f.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ x B )
3331, 32nfeqd 2558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F/ x  y  =  B )
347, 33nfan1 1841 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  y  =  B )
35 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
3635eqeq2d 2419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
x  =  y  <->  x  =  B ) )
3736bibi2d 310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ps  <->  x  =  y )  <->  ( ps  <->  x  =  B ) ) )
3834, 37ralbid 2688 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  <->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
) ) )
3935eqeq2d 2419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( iota_ x  e.  A ps )  =  y  <->  (
iota_ x  e.  A ps )  =  B
) )
4038, 39imbi12d 312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )  <->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B ) ) )
413, 40sbcied 3161 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. B  / 
y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  -> 
( iota_ x  e.  A ps )  =  y
)  <->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B )  -> 
( iota_ x  e.  A ps )  =  B
) ) )
4230, 41mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B )
)
432, 42mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2531   A.wral 2670   E!wreu 2672   [.wsbc 3125   iota_crio 6505
This theorem is referenced by:  riota5  6538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-v 2922  df-sbc 3126  df-un 3289  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-uni 3980  df-iota 5381  df-riota 6512
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