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Theorem riota5f 6329
Description: A method for computing restricted iota. (Contributed by NM, 16-Apr-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riota5f.1  |-  ( ph  -> 
F/_ x B )
riota5f.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
riota5f.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<->  x  =  B ) )
Assertion
Ref Expression
riota5f  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    B( x)

Proof of Theorem riota5f
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riota5f.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<->  x  =  B ) )
21ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
) )
3 riota5f.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 a1tru 1321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  T.  )
5 reu6i 2956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )  ->  E! x  e.  A  ps )
65adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  E! x  e.  A  ps )
7 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
8 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  A
9 nfra1 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)
108, 9nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )
117, 10nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )
12 nfcvd 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  F/_ x y )
13 nfvd 1606 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  F/ x  T.  )
14 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  y  e.  A )
15 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
16 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )
17 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  y  e.  A )
1815, 17eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  e.  A )
19 rsp 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  ( ps 
<->  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ps  <->  x  =  y ) ) )
2016, 18, 19sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( ps  <->  x  =  y ) )
2115, 20mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ps )
22 a1tru 1321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  T.  )
2321, 222thd 231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( ps  <->  T.  )
)
2411, 12, 13, 14, 23riota2df 6325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  E! x  e.  A  ps )  ->  (  T.  <->  (
iota_ x  e.  A ps )  =  y
) )
256, 24mpdan 649 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  (  T.  <->  (
iota_ x  e.  A ps )  =  y
) )
264, 25mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )
2726expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y ) )
2827ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y ) )
29 rspsbc 3069 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )  ->  [. B  /  y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )
) )
303, 28, 29sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  [. B  /  y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )
)
31 nfcvd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ x y )
32 riota5f.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ x B )
3331, 32nfeqd 2433 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F/ x  y  =  B )
347, 33nfan1 1822 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  y  =  B )
35 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
3635eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
x  =  y  <->  x  =  B ) )
3736bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ps  <->  x  =  y )  <->  ( ps  <->  x  =  B ) ) )
3834, 37ralbid 2561 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  <->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
) ) )
3935eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( iota_ x  e.  A ps )  =  y  <->  (
iota_ x  e.  A ps )  =  B
) )
4038, 39imbi12d 311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  y )  <->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
)  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B ) ) )
413, 40sbcied 3027 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. B  / 
y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  -> 
( iota_ x  e.  A ps )  =  y
)  <->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B )  -> 
( iota_ x  e.  A ps )  =  B
) ) )
4230, 41mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B )  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B )
)
432, 42mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A ps )  =  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   A.wral 2543   E!wreu 2545   [.wsbc 2991   iota_crio 6297
This theorem is referenced by:  riota5  6330  cdlemg1a  30759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-v 2790  df-sbc 2992  df-un 3157  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-iota 5219  df-riota 6304
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