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Theorem riotass2 6332
Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
riotass2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  ( iota_ x  e.  B ps )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem riotass2
StepHypRef Expression
1 reuss2 3448 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
2 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps ) )
3 riotasbc 6320 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph )
4 riotacl 6319 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  A
)
5 rspsbc 3069 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps ) ) )
6 sbcimg 3032 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps )  <->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
) )
75, 6sylibd 205 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
) )
84, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
) )
93, 8mpid 37 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
)
101, 2, 9sylc 56 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
111, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  A )
12 ssel 3174 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B
) )
1312ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  (
( iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B
) )
1411, 13mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B )
15 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  B  ps )
16 nfriota1 6312 . . . . 5  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A ph )
1716nfsbc1 3009 . . . . 5  |-  F/ x [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps
18 sbceq1a 3001 . . . . 5  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A ph )  -> 
( ps  <->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
)
1916, 17, 18riota2f 6326 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps  <->  ( iota_ x  e.  B ps )  =  ( iota_ x  e.  A ph ) ) )
2014, 15, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps  <->  ( iota_ x  e.  B ps )  =  ( iota_ x  e.  A ph ) ) )
2110, 20mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  B ps )  =  ( iota_ x  e.  A ph )
)
2221eqcomd 2288 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  ( iota_ x  e.  B ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   [.wsbc 2991    C_ wss 3152   iota_crio 6297
This theorem is referenced by:  fisupcl  7218  quotlem  19680  adjbdln  22663  rexdiv  23109  cdlemefrs32fva  30589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-riota 6304
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