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Theorem riotass2 6579
Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
riotass2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  ( iota_ x  e.  B ps )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem riotass2
StepHypRef Expression
1 reuss2 3623 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
2 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps ) )
3 riotasbc 6567 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph )
4 riotacl 6566 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  A
)
5 rspsbc 3241 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps ) ) )
6 sbcimg 3204 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps )  <->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
) )
75, 6sylibd 207 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
) )
93, 8mpid 40 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
)
101, 2, 9sylc 59 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
111, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  A )
12 ssel 3344 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B
) )
1312ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  (
( iota_ x  e.  A ph )  e.  A  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B
) )
1411, 13mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B )
15 simprr 735 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  B  ps )
16 nfriota1 6559 . . . . 5  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A ph )
1716nfsbc1 3181 . . . . 5  |-  F/ x [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps
18 sbceq1a 3173 . . . . 5  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A ph )  -> 
( ps  <->  [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps )
)
1916, 17, 18riota2f 6573 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  A ph )  e.  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps  <->  ( iota_ x  e.  B ps )  =  ( iota_ x  e.  A ph ) ) )
2014, 15, 19syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A ph )  /  x ]. ps  <->  ( iota_ x  e.  B ps )  =  ( iota_ x  e.  A ph ) ) )
2110, 20mpbid 203 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  B ps )  =  ( iota_ x  e.  A ph )
)
2221eqcomd 2443 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  ( iota_ x  e.  B ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   [.wsbc 3163    C_ wss 3322   iota_crio 6544
This theorem is referenced by:  fisupcl  7474  quotlem  20219  adjbdln  23588  rexdiv  24174  cdlemefrs32fva  31199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-riota 6551
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