MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riotassuni Structured version   Unicode version

Theorem riotassuni 6588
Description: The restricted iota class is limited in size by the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
riotassuni  |-  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem riotassuni
StepHypRef Expression
1 riotauni 6556 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  U. { x  e.  A  |  ph } )
2 ssrab2 3428 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  ph }  C_  A
32unissi 4038 . . . 4  |-  U. {
x  e.  A  |  ph }  C_  U. A
4 ssun2 3511 . . . 4  |-  U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
53, 4sstri 3357 . . 3  |-  U. {
x  e.  A  |  ph }  C_  ( ~P U. A  u.  U. A
)
61, 5syl6eqss 3398 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P
U. A  u.  U. A ) )
7 riotaund 6586 . . 3  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  ( Undef `  A ) )
8 undefval 6546 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Undef `  A )  =  ~P U. A )
98adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  =  ~P U. A )
10 ssun1 3510 . . . . 5  |-  ~P U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
119, 10syl6eqss 3398 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
12 fvprc 5722 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Undef `  A )  =  (/) )
1312adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  =  (/) )
14 0ss 3656 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
1513, 14syl6eqss 3398 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
1611, 15pm2.61dan 767 . . 3  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
177, 16eqsstrd 3382 . 2  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P
U. A  u.  U. A ) )
186, 17pm2.61i 158 1  |-  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!wreu 2707   {crab 2709   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Undefcund 6541   iota_crio 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-undef 6543  df-riota 6549
  Copyright terms: Public domain W3C validator