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Theorem riotassuni 6343
Description: The restricted iota class is limited in size by the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
riotassuni  |-  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem riotassuni
StepHypRef Expression
1 riotauni 6311 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  U. { x  e.  A  |  ph } )
2 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ph }  C_  A
3 uniss 3848 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  C_  A  ->  U. { x  e.  A  |  ph }  C_  U. A
)
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. {
x  e.  A  |  ph }  C_  U. A
5 ssun2 3339 . . . . 5  |-  U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
64, 5sstri 3188 . . . 4  |-  U. {
x  e.  A  |  ph }  C_  ( ~P U. A  u.  U. A
)
76a1i 10 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  U. { x  e.  A  |  ph }  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
81, 7eqsstrd 3212 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P
U. A  u.  U. A ) )
9 riotaund 6341 . . 3  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  ( Undef `  A ) )
10 undefval 6301 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Undef `  A )  =  ~P U. A )
1110adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  =  ~P U. A )
12 ssun1 3338 . . . . . 6  |-  ~P U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
1312a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ~P U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A
) )
1411, 13eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
15 fvprc 5519 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Undef `  A )  =  (/) )
1615adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  =  (/) )
17 0ss 3483 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
1817a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  -> 
(/)  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
1916, 18eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
2014, 19pm2.61dan 766 . . 3  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
219, 20eqsstrd 3212 . 2  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P
U. A  u.  U. A ) )
228, 21pm2.61i 156 1  |-  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!wreu 2545   {crab 2547   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Undefcund 6296   iota_crio 6297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-undef 6298  df-riota 6304
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