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Theorem riotassuni 6385
Description: The restricted iota class is limited in size by the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
riotassuni  |-  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem riotassuni
StepHypRef Expression
1 riotauni 6353 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  U. { x  e.  A  |  ph } )
2 ssrab2 3292 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ph }  C_  A
3 uniss 3885 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  C_  A  ->  U. { x  e.  A  |  ph }  C_  U. A
)
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. {
x  e.  A  |  ph }  C_  U. A
5 ssun2 3373 . . . . 5  |-  U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
64, 5sstri 3222 . . . 4  |-  U. {
x  e.  A  |  ph }  C_  ( ~P U. A  u.  U. A
)
76a1i 10 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  U. { x  e.  A  |  ph }  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
81, 7eqsstrd 3246 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P
U. A  u.  U. A ) )
9 riotaund 6383 . . 3  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( iota_ x  e.  A ph )  =  ( Undef `  A ) )
10 undefval 6343 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Undef `  A )  =  ~P U. A )
1110adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  =  ~P U. A )
12 ssun1 3372 . . . . . 6  |-  ~P U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
1312a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ~P U. A  C_  ( ~P U. A  u.  U. A
) )
1411, 13eqsstrd 3246 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
15 fvprc 5557 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Undef `  A )  =  (/) )
1615adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  =  (/) )
17 0ss 3517 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
1817a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  -> 
(/)  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
1916, 18eqsstrd 3246 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  ph  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
2014, 19pm2.61dan 766 . . 3  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( Undef `  A )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A ) )
219, 20eqsstrd 3246 . 2  |-  ( -.  E! x  e.  A  ph 
->  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P
U. A  u.  U. A ) )
228, 21pm2.61i 156 1  |-  ( iota_ x  e.  A ph )  C_  ( ~P U. A  u.  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   E!wreu 2579   {crab 2581   _Vcvv 2822    u. cun 3184    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   ` cfv 5292   Undefcund 6338   iota_crio 6339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-undef 6340  df-riota 6346
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