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Theorem riotasv2dOLD 6366
Description: Value of description binder  D for a single-valued class expression  C ( y ) (as in e.g. reusv2 4556). Special case of riota2f 6342. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasv2dOLD.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
riotasv2dOLD.2  |-  ( ph  ->  A. y ph )
riotasv2dOLD.3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  F  ->  A. y  z  e.  F ) )
riotasv2dOLD.4  |-  ( ph  ->  ( ch  ->  A. y ch ) )
riotasv2dOLD.5  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
riotasv2dOLD.6  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  ( ps  <->  ch )
) )
riotasv2dOLD.7  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  C  =  F ) )
Assertion
Ref Expression
riotasv2dOLD  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch ) )  ->  D  =  F )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z   
z, D    y, E, z    z, F    ph, z    ps, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    ch( x, y, z)    C( y)    D( x, y)    E( x)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem riotasv2dOLD
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 nfcvd 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y E )
3 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
4 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y A
53, 4nfriota 6330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
6 riotasv2dOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. y ph )
76nfi 1541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y
ph
8 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  A  e.  _V
97, 8nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( ph  /\  A  e.  _V )
10 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  E  e.  B
119, 10nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B
)
12 riotasv2dOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
1411, 13nfceqdf 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  ( F/_ y D  <->  F/_ y (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) ) )
155, 14mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y D )
16 nfcvd 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y A )
1715, 16nfeld 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y  D  e.  A
)
18 nfvd 1610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y  E  e.  B
)
19 riotasv2dOLD.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ch  ->  A. y ch ) )
207, 19nfd 1758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F/ y ch )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y ch )
2217, 18, 21nf3and 1776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )
)
23 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
ph
24 riotasv2dOLD.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( z  e.  F  ->  A. y  z  e.  F ) )
257, 24nfd 1758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F/ y  z  e.  F )
2623, 25nfcd 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
F/_ y F )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y F )
2815, 27nfeqd 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y  D  =  F
)
2922, 28nfimd 1773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )
30 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  E  ->  (
y  e.  B  <->  E  e.  B ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  (
y  e.  B  <->  E  e.  B ) )
32 riotasv2dOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  ( ps  <->  ch )
) )
3332imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3431, 333anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  (
( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  <->  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )
) )
35 riotasv2dOLD.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  C  =  F ) )
3635imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  C  =  F )
3736eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  ( D  =  C  <->  D  =  F ) )
3834, 37imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  (
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <-> 
( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) )
3938ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  ( ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <->  ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) ) )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  (
y  =  E  -> 
( ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <-> 
( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) ) )
4111, 40alrimi 1757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  A. y
( y  =  E  ->  ( ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <->  ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) ) )
42 riotasv2dOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x ph )
4342, 6, 12riotasvdOLD 6364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  D  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ps ) )  ->  D  =  C )
44433exp 1150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( D  e.  A  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) ) )
4544exp4a 589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( D  e.  A  ->  (
y  e.  B  -> 
( ps  ->  D  =  C ) ) ) )
46453impd 1165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
479, 46alrimi 1757 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  A. y
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
4847adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  A. y
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
49 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  E  e.  B )
50 vtoclgft 2847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F/_ y E  /\  F/ y ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )  /\  ( A. y ( y  =  E  ->  (
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <-> 
( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) )  /\  A. y ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )  /\  E  e.  B )  ->  (
( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )
512, 29, 41, 48, 49, 50syl221anc 1193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  (
( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )
52513expd 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  ( D  e.  A  ->  ( E  e.  B  -> 
( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
5352com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  ( E  e.  B  ->  ( D  e.  A  -> 
( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
5453ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( E  e.  B  ->  ( E  e.  B  ->  ( D  e.  A  -> 
( ch  ->  D  =  F ) ) ) ) )
5554pm2.43d 44 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( E  e.  B  ->  ( D  e.  A  ->  ( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
5655com23 72 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( D  e.  A  ->  ( E  e.  B  ->  ( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
57563imp2 1166 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch ) )  ->  D  =  F )
581, 57sylanl2 632 1  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch ) )  ->  D  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   A.wral 2556   _Vcvv 2801   iota_crio 6313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-undef 6314  df-riota 6320
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