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Theorem riotasv2dOLD 6587
Description: Value of description binder  D for a single-valued class expression  C ( y ) (as in e.g. reusv2 4721). Special case of riota2f 6563. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasv2dOLD.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
riotasv2dOLD.2  |-  ( ph  ->  A. y ph )
riotasv2dOLD.3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  F  ->  A. y  z  e.  F ) )
riotasv2dOLD.4  |-  ( ph  ->  ( ch  ->  A. y ch ) )
riotasv2dOLD.5  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
riotasv2dOLD.6  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  ( ps  <->  ch )
) )
riotasv2dOLD.7  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  C  =  F ) )
Assertion
Ref Expression
riotasv2dOLD  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch ) )  ->  D  =  F )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z   
z, D    y, E, z    z, F    ph, z    ps, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    ch( x, y, z)    C( y)    D( x, y)    E( x)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem riotasv2dOLD
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 nfcvd 2572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y E )
3 nfra1 2748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
4 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y A
53, 4nfriota 6551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
6 riotasv2dOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. y ph )
76nfi 1560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y
ph
8 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  A  e.  _V
97, 8nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( ph  /\  A  e.  _V )
10 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  E  e.  B
119, 10nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B
)
12 riotasv2dOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
1411, 13nfceqdf 2570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  ( F/_ y D  <->  F/_ y (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) ) )
155, 14mpbiri 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y D )
16 nfcvd 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y A )
1715, 16nfeld 2586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y  D  e.  A
)
18 nfvd 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y  E  e.  B
)
19 riotasv2dOLD.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ch  ->  A. y ch ) )
207, 19nfd 1782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F/ y ch )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y ch )
2217, 18, 21nf3and 1844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )
)
23 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
ph
24 riotasv2dOLD.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( z  e.  F  ->  A. y  z  e.  F ) )
257, 24nfd 1782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F/ y  z  e.  F )
2623, 25nfcd 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
F/_ y F )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/_ y F )
2815, 27nfeqd 2585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y  D  =  F
)
2922, 28nfimd 1827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  F/ y ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )
30 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  E  ->  (
y  e.  B  <->  E  e.  B ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  (
y  e.  B  <->  E  e.  B ) )
32 riotasv2dOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  ( ps  <->  ch )
) )
3332imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3431, 333anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  (
( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  <->  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )
) )
35 riotasv2dOLD.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  C  =  F ) )
3635imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  C  =  F )
3736eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  ( D  =  C  <->  D  =  F ) )
3834, 37imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  =  E )  ->  (
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <-> 
( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) )
3938ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  =  E  ->  ( ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <->  ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) ) )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  (
y  =  E  -> 
( ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <-> 
( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) ) )
4111, 40alrimi 1781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  A. y
( y  =  E  ->  ( ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <->  ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) ) )
42 riotasv2dOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x ph )
4342, 6, 12riotasvdOLD 6585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  D  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ps ) )  ->  D  =  C )
44433exp 1152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( D  e.  A  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) ) )
4544exp4a 590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( D  e.  A  ->  (
y  e.  B  -> 
( ps  ->  D  =  C ) ) ) )
46453impd 1167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
479, 46alrimi 1781 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  A. y
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  A. y
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
49 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  E  e.  B )
50 vtoclgft 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F/_ y E  /\  F/ y ( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )  /\  ( A. y ( y  =  E  ->  (
( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C )  <-> 
( ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) ) )  /\  A. y ( ( D  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )  /\  E  e.  B )  ->  (
( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )
512, 29, 41, 48, 49, 50syl221anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  (
( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch )  ->  D  =  F ) )
52513expd 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  ( D  e.  A  ->  ( E  e.  B  -> 
( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
5352com23 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  E  e.  B )  ->  ( E  e.  B  ->  ( D  e.  A  -> 
( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
5453ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( E  e.  B  ->  ( E  e.  B  ->  ( D  e.  A  -> 
( ch  ->  D  =  F ) ) ) ) )
5554pm2.43d 46 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( E  e.  B  ->  ( D  e.  A  ->  ( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
5655com23 74 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  _V )  ->  ( D  e.  A  ->  ( E  e.  B  ->  ( ch  ->  D  =  F ) ) ) )
57563imp2 1168 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  _V )  /\  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch ) )  ->  D  =  F )
581, 57sylanl2 633 1  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  ( D  e.  A  /\  E  e.  B  /\  ch ) )  ->  D  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558   A.wral 2697   _Vcvv 2948   iota_crio 6534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-undef 6535  df-riota 6541
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