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Theorem riotasvd 6347
Description: Deduction version of riotasv 6352. (Contributed by NM, 4-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasvd.1  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
riotasvd.2  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
Assertion
Ref Expression
riotasvd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    B( y)    C( y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem riotasvd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotasvd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
21adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
3 riotasvd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  e.  A )
52, 4eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A
)
6 riotaclbg 6344 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
76adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
85, 7mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
9 riotasbc 6320 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  ->  [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
11 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  C  <->  z  =  C ) )
1211imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ps  ->  x  =  C )  <->  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
1312ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
14 nfra1 2593 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
15 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
1614, 15nfriota 6314 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
1716nfeq2 2430 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
18 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( z  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
1918imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( ( ps 
->  z  =  C
)  <->  ( ps  ->  (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2017, 19ralbid 2561 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2113, 20sbcie2g 3024 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
225, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2310, 22mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
24 rsp 2603 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C )  -> 
( y  e.  B  ->  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2523, 24syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2625imp3a 420 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
272eqeq1d 2291 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
2826, 27sylibrd 225 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E!wreu 2545   [.wsbc 2991   iota_crio 6297
This theorem is referenced by:  riotasv2d  6349  riotasv  6352  riotasv3d  6353  cdleme32a  30630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-undef 6298  df-riota 6304
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