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Theorem riotasvd 6584
Description: Deduction version of riotasv 6589. (Contributed by NM, 4-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasvd.1  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
riotasvd.2  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
Assertion
Ref Expression
riotasvd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    B( y)    C( y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem riotasvd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotasvd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
21adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
3 riotasvd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  e.  A )
52, 4eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A
)
6 riotaclbg 6581 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
76adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
85, 7mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
9 riotasbc 6557 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  ->  [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
11 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  C  <->  z  =  C ) )
1211imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ps  ->  x  =  C )  <->  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
1312ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
14 nfra1 2748 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
15 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
1614, 15nfriota 6551 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
1716nfeq2 2582 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
18 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( z  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
1918imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( ( ps 
->  z  =  C
)  <->  ( ps  ->  (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2017, 19ralbid 2715 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2113, 20sbcie2g 3186 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
225, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2310, 22mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
24 rsp 2758 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C )  -> 
( y  e.  B  ->  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2625imp3a 421 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
272eqeq1d 2443 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
2826, 27sylibrd 226 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E!wreu 2699   [.wsbc 3153   iota_crio 6534
This theorem is referenced by:  riotasv2d  6586  riotasv  6589  riotasv3d  6590  cdleme32a  31175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-undef 6535  df-riota 6541
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