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Theorem riotasvd 6528
Description: Deduction version of riotasv 6533. (Contributed by NM, 4-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasvd.1  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
riotasvd.2  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
Assertion
Ref Expression
riotasvd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    B( y)    C( y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem riotasvd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotasvd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
21adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
3 riotasvd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  e.  A )
52, 4eqeltrrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A
)
6 riotaclbg 6525 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
76adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
85, 7mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
9 riotasbc 6501 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  ->  [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
11 eqeq1 2393 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  C  <->  z  =  C ) )
1211imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ps  ->  x  =  C )  <->  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
1312ralbidv 2669 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
14 nfra1 2699 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
15 nfcv 2523 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
1614, 15nfriota 6495 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
1716nfeq2 2534 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
18 eqeq1 2393 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( z  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
1918imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( ( ps 
->  z  =  C
)  <->  ( ps  ->  (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2017, 19ralbid 2667 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2113, 20sbcie2g 3137 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
225, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2310, 22mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
24 rsp 2709 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C )  -> 
( y  e.  B  ->  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ps  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2625imp3a 421 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
272eqeq1d 2395 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
2826, 27sylibrd 226 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E!wreu 2651   [.wsbc 3104   iota_crio 6478
This theorem is referenced by:  riotasv2d  6530  riotasv  6533  riotasv3d  6534  cdleme32a  30555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-undef 6479  df-riota 6485
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